Přednáší Michal Málek, email: Michal.Malek@math.slu.cz, kalendáře, Aula, čtvrtek 11:25–13:05.
| Cvičí |
Jana Dvořáková, R1, středa 11:15–13:00 a R1, středa 13:05–13:50. |
Učební texty:
1. Matice: Text M. Marvana Matice - elementární úpravy,
Matice - algebraické vlastnosti,
Matice - determinanty.
2. Soustavy lineárních rovnic.
3. Polynomy.
4. Grupy, okruhy, pole.
5. Vektorové prostory.
6. Lineární zobrazení (připravuje se, ale je tady draft).
Literatura:
A. G. Kuroš, Kapitoly z obecné algebry, Academia Praha 1968.
D. Krupka, J. Musilová, Lineární a multilineární algebra, Univerzita J. E. Purkyně v Brně, Brno 1989.
Literatura ke cvičení
1. Matice a determinanty.
2. Soustavy lineárních rovnic.
3. Polynomy.
4. Grupy, okruhy, pole.
5. Vektorové prostory.
6. Lineární zobrazení.
Aktuální oznámení:
Zkušební otázky pro zimní semestr jsou nyní k dispozici.
V zápočtovém týdnu přednáška nebude.
Doplnil jsem záznamy tabule za přednášky (jen ty, které se dochovaly).
Přehled probírané látky:
1. Matice a determinanty (elementární úpravy, schodovitý tvar matice, operace s maticemi, permutace, determinanty inverzní matice, výpočet determinantu a inverzní matice)
2. Soustavy lineárních rovnic, Frobeniova věta (homogenní a nehomogenní systémy, struktura množiny řešení)
3. Polynomy (kořeny polynomů, Eukleidův algoritmus, základní věta algebry, polynomy s reálnými koeficienty, kubické rovnice a rovnice vyššího stupně)
4. Grupy, okruhy, pole; homomorfismy a izomorfismy
5. Vektorové prostory a podprostory (lineární závislost a nezávislost, báze vektorového prostoru a podprostoru, přímý součet podprostorů)
Přednášky:
1. přednáška 27. září 2007: Matice.
První pohled na pole. Algebraické vlastnosti pole. Matice na polem, řádek sloupec, Základní operace s maticemi,
sčítání násobení skalárem, násobení matic, transponovaná matice. Diagonální matice, matice ve schodovitém tvaru.
Elementární úpavy.
Tabule.
2. přednáška 4. října 2007: Matice.
Elemntární úpravy jsou relace ekvivalence. Lineární kombinace řádku (sloupců). Lineární závislost/nezávislost řádků (sloupců)
maximální lieárně nezávyslý systém řádků. Hodnost matice. Gausova věta (o elementárních úpravách) a její důsledky.
Věta (každá matice je ekvivalentní diagonální). Čtvercové matice, singulární, regulární. Věty (o hodnosti regulárních matic)
Determinant. Příklady.
Tabule.
3. přednáška 11. října 2007: Determinanty.
Vlastnosti determinantu, metody výpočtu determinatu, inverzní matice, vlastnosti inverzní matice a metody výpočtu inverzní matice.
Téma 2. Systémy lineárních rovnic. Základní pojmy (matice systému, matice rozšířeného systému, řešení systému, obecné řešení systému...).
Věta 2.1 (Ekvivalentními úpravami se nemění obecné řešení).
Tabule.
4. přednáška 18. října 2007: Systémy lineárních rovnic.
Frobeniova věta (věta 2.2) – nutná a postačující podmínka existence řešení lineárního systému, věta 2.3. (o řešeních
homogenních rovnic). Cramerovské systémy, věta 2.4 (existence a jednoznačnost řešení řešení cramerovského systému), metody
řešení cramerovských systémů (Gaussova eliminační metoda, Inverzní maticí, Cramerovo pravidlo), příklad. Systémy
homogenních rovnic. Věta 2.5 (o lineární kombinaci řešení). Fundamentální systém řešení homogenního systému rovnic,
věta 2.6. (o fundamentálním systému řešení homogenních rovnic). Příklad.
5. přednáška 25. října 2007: Systémy lineárních rovnic – dokončení.
Homogenní a nehomogenní systémy rovnic. Struktura řešení homogenních a nehomogenních systémů. Příklad.
Téma 3. Polynomy. Definice základních pojmů. Operace s polynomy (sčítání odčítání, násobení a dělení se zbytkem).
Dělitelnost polynomů. Vlasnosti dělitelnosti.
6. přednáška 1. listopadu 2007: Polynomy - největší společný dělitel, kořeny.
Zopakoval jsem polmy: dělení polynomů se zbytkem, dělitelnost polynomů, největší společný dělitel.
Eukleidův algoritmus pro hledání největšího společného dělitele s důkazem, důsledek 3.3. (Bezoutova věta).
Příklad na výpočet největšího společného dělitele. Kořeny polynomů, definice, příklady. Základní věta algebry,
bez důkazu. Rozklad na kořenové činitele - věta 3.5 a důsledek 3.6. Násobnost kořenů, derivace.
Tabule.
7. přednáška 8. listopadu 2007: Polynomy s reálnými koeficienty.
Vlastnosti derivace, věta 3.8 (souvislost derivace a násobnosti kořenů). Polynomy s reálnými koeficienty, věta 3.9
(o existenci kořenů) - bez důkazu, věta 3.10 (komplexně sdružené kořeny), důsledek 3.11 (rozklad na kořenové činitele).
Polynomy s celočíselnými koeficienty, věta 3.12 (o racionálních kořenech - dělitelnost). Racionální lomené funkce.
8. přednáška 15. listopadu 2007: Grupy.
Definice grupy, důkazy jednoznačnosti inverze a jednotkového prvku (věta 4.1).
Základní vlastnosti operace v grupě – věta 4.2. Podgrupa, věta 4.4. (uzavřenost na operace)
Příklady grup: Rn se ščítáním a násobením po složkách.
Věta 4.4 (Průniky a inkluze podgrup).
Tabule.
9. přednáška 22. listopadu 2007: Homomorfismy.
Zopakování pojmu homomorfismus, jádro obraz homomorfismu, izomorfismus, příklady.
Věta 4.6. (základní vlastnosti homomorfismu). Věta 4.7. (jádro a obraz homomorfismu jsou podgrupy).
Věta 4.8. (skládání homomorfismu), důsledek 4.9. (skládání izomorfismů), izomorfní grupy, věta 4.10
(izomorfnost je relace ekvivalence). Příklady podgrup: nZ, Zn;
podgrupy GL(n,R) a GL(n,C). (Ortogonální, unitární grupy a matice, speciální
lineární grupy - determinant jako homomorfismus GL(n,R) a multiplikativní grupy R+).
Tabule.
10. přednáška 29. listopadu 2007: Vektorové prostory.
Okruh, definice vlastnosti, příklady. Pole, axiomy pole, věta o algebraických
vlastnostech pole, příklady polí.
Nové téma: Vektorové prostory. Definice vektorového prostoru nad polem. Lineární
závislost a nezávislost vektorů, dimenze, báze. Příklady konečněrozměrných
a nekonečněrozměrných vektorových prostorů. Prostor Rn,
a jeho přirozená báze. Lineární obal množiny, příklad. Věta o obalu báze,
Steinitzova věta o výměně.
Tabule.
11. přednáška 6. prosince 2007: Souřadnice vektoru, podprostory.
Souřadnice (složky) vektoru v bázi - existence a jednoznačnost (věta 5.3).
Transformace souřadnic vektoru při změně báze, matice přechodu mezi bázemi
(věta 5.4). Podprostory vektorových prostorů, definice příklady.
Lemma 5.5 (o uzavřenosti operací na podprostorech). Průnik podprostorů
(věta 5.6), definice průniku a součtu podprostorů, generátory podprostoru.
Věta 5.7 (o doplňku podprostoru).
Tabule.
12. přednáška 13. prosince 2007: Lineární zobrazení.
Tabule.
Kalendáře