Doporučená literatura:
Učební texty z Matematické analýzy I, 2004/2005 (Sekretariát Matematického ústavu)
Vojtěch Jarník: Diferenciální počet I a II (Knihovna Matematického ústavu)
Demeter Krupka, Olga Krupková: Topologie a geometrie (Knihovna Matematického ústavu)
Jiří Holenda: Řady (Knihovna Matematického ústavu)
Vojtěch Jarník: Integrální počet I (Knihovna Matematického ústavu)

Učební texty k přednášce a cvičení: 1. Množiny, zobrazení, relace, 2.  Reálná čísla, funkce reálné proměnné, 3.  Základy topologie, 4.  Topologické vlastnosti množiny reálných čísel, 5. Posloupnosti a řady, 6. Nekonečné řady funkcí, 7. Diferenciální počet v R, 8. Integrální počet v R (připravuje se, ale lze si prohlédnout draft), Rejstřík pojmů, Vše v jednom.

Stránky přednášek Matematické analýzy I.

Aktuální oznámení: Termín zkoušky z Matematické analýzy bude v pátek 2. září 2005 v obvyklých 9 hodin.

K dispozici jsou nyní zkušební otázky pro letní semestr

Přednášky:

1. přednáška 22. února 2005: Řady funkcí

• Absolutně konvergentní a neabsolutně konvergentní řady; přerovnávací věty 5.27 a 5.30 (Riemannova) pro absolutně a neabsolutně konvergentní řady. Věta 5.25 o součtu a násobku absolutně konvergentních řad.
• Součin nekonečných řad, definice, věta 6.1 o (obyčejném) součinu nekonečných řad, věta 6.2 o součinu absolutně konvergentních řad, Cauchyho součin řad.
• Řady funkcí - definice, konvergence řady funkcí (bodová a stejnoměrná), posloupnost částečných součtů řady funkcí.
• Příklady.

Záznam přednášky: film(97,5 MB), tabule.

2. přednáška 1. března 2005: Mocninné řady

• Věta 6.5, věta 6.8 (o stejnoměrně konvergentní majorantě), příklady.
• Věta 6.9 (stejnoměrná konvergence spojitých funkcí), důsledek 6.10 (záměna limit pro řady), pro řady.
• Mocninné řady, definice příklady, věta 6.11 (o oboru konvergence mocninné řady), poloměr a interval konvergence, příklady.
• Věta 6.12 (o absolutní konvergenci mocninných řad), důsledek 6.13 (o spojitosti součtu mocninné řady).
• Exponenciální funkce, definice, Eulerovo číslo, věta 6.14 (základní vlastnosti exponenciální funkce).

Záznam přednášky: film(100,5 MB), tabule.

3. přednáška 8. března 2005: Derivace

• věta 6.14 (základní vlastnosti exponenciální funkce), logaritmus, exponenciální funkce o základu a, logaritmus o základu a, jejich vlastnosti.
• Goniometrické funkce, definice, vlastnosti (věta 6.19), číslo π, cyklometrické funkce.
• Derivace, motivace, definice, příklady výpočtu derivace z její definice. Derivace základních funkcí (konstatní mocninné).
• Derivace zleva zprava, věta 7.1, příklady, souvislost existence derivace a spojitosti (věta 7.2), příklady.
• Věta 7.3 (záměna pořadí limit pro derivace), derivace součtu řady člen po členu.

Záznam přednášky: film(92,8 MB), tabule.

4. přednáška 15. března 2005: Derivace vlasnosti

• Vlastnosti derivace funkce, počítání derivací funkce věta 7.5 (o derivaci součtu a součinu funkcí), derivace složené funkce věta 7.6. důsledek 7.7 (o derivaci podílu funkcí), věta 7.8 (derivace inverzních funkcí), důsledek 7.9 (derivace inverzních funkcí k elementárním funkcím).
• Příklady výpočtu derivace složitějších funkcí.
• Diferencíál funkce v bodě, definice a souvislost s derivací funkce v bodě (věta 7.10).
• Derivace vyšších řádů, definice.

Záznam přednášky: film(115,5 MB), tabule.

5. přednáška 22. března 2005: Derivace - extrémy

• Zopakování pojmů diferenciál funkce v bodě a derivace vyššího řádu, jejich geometrický význam, příklady.
• Lokální extrémy funkce - definice; pojmy rostoucí v bodě, klesající v bodě, příklady. Věta 7.11 (je-li derivace kladná pak je funkce v tomto bodě rostoucí (obdobně pro klesající)), důsledek 7.12 (nutná podmínka lokálního extrému).
• Věty o přírůstku funkce: Rolleova věta (7.13), věta o střední hodnotě (7.14) a zobecněná věta o střední hodnotě (7.15).
• Příklad: užití věty o střední hodnotě pro odhad hodnoty funkce.
• Věty 7.16 a 7.17 (užití derivace k nalezení lokálních extrémů a intervalů monotonicity).

Záznam přednášky: film(90,5 MB), tabule.

6. přednáška 29. března 2005: Derivace - extrémy

• Zopakování věty o střední hodnotě derivace a pojmů konvexnost a konkávnost. Definice pojmu inflexní bod. Věta 7.18 (o souvislosti konvexnosti a konkávnosti s derivací druhého řádu). Příklady.
• Věta 7.19 a Důsledek 7.20 (o existenci extrému v bodě kde je prvních n derivací rovno nule), příklady. Příklad na užití derivací při „vyšetřování průběhu“ funkce.
• Užití derivací pro výpočet limit — L'Hospitalovo pravidlo (věty 7.21 a 7.22). Příklady.

Záznam přednášky: film se nepovedl, tabule.

7. přednáška 5. dubna 2005: Taylorův polynom, Taylorova řada

• Zopakování zobecněné věty o střední hodnotě. Motivační příklad k aproximaci funkce Taylorovým polynomem.
• Taylorův polynom, definice, Taylorova věta (7.23), důsledek 7.24 (Lagrangeův a Cauchyův tvar zbytku).
• Příklad výpočtu čísla e s předem danou přesností. Taylorova řada - kritérium konvergence (věta 7.25).
• Riemannův integrál, motivační příklad, součtová definice pomocí horních a dolních součtů; horní a dolní integrál. Příklad: integrál z konstantní funkce a příklad neintegrovatelné funkce (Dirichletova funkce).

Záznam přednášky: film(95,4 MB), tabule.

8. přednáška 12. dubna 2005: Riemannův integrál — úvod

• Lemma 8.1 a Lemma 8.2 (o horních a dolních součtech zjemňujících se dělení).
• Věta 8.3 (kritérium integrovatelnosti funkce).
• Příklady výpočtu integrálu jako limita horních a dolních součtu zjemňujících se dělení.

Záznam přednášky: film(93,6 MB), tabule.

9. přednáška 19. dubna 2005: Riemannův integrál — vlastnosti

• Věta 8.5 (spojitá funkce je integrovatelná), věta 8.6 (o integrálu součtu a násobku funkce), věta 8.7 (aditivita integrálu). Integrál z funkce pozměněné v konečně mnoha bodech.
• Primitivní funkce, definice, příklady, nejednoznačnost primitivní funkce; příklad funkce, která nemá primitivní funkci. Věta 8.8 (dvě primitivní funkce se na intervalu liší o konstantu).
• Zavedení pojmu neurčitý integrál, integrační konstanta.

Záznam přednášky: film se nepovedl .

10. přednáška 26. dubna 2005: Neurčitý integrál

• Zopakování pojmu neurčitý integrál, integrační konstanta, souvislost neurčitého integrálu s primitivní funkcí.
• Integrál, jako funkce horní meze: věta 8.10. Vlastnosti neurčitého integrálu: věta 8.11 (integrál součtu a násobku), věta 8.12 (metoda per partes), věta 8.13 (první substituční metoda), věta 8.14 (druhá substituční metoda). Příklady výpočtu integrálů pomocí metod per partes a substitučních metod.
• Věta 8.15 (Newton-Leibnitzova formule).

Záznam přednášky: není (nezaznamenávala se).

11. přednáška 3. května 2005: Nevlastní integrál

• Newton-Leibnitzova formule pro per partes a substituční metodu (důsledky 8.16 a 8.17), příklady.
• Nevlastní Riemannův integrál, rozšíření definice integrálu i pro neomezené funkce případně na integrál na nevlastním a otevřeném intervalu.
• Příklady.

Záznam přednášky: není (nezaznamenávala se).

12. přednáška 10. května 2005: Rozklad na parciální zlomky

• Hledání primitivní funkce z racionální lomené funkce – rozklad na parciální zlomky.

Záznam přednášky: není (nezaznamenávala se).

Kalendáře