Doporučená literatura:
Učební texty z Matematické analýzy I, 2004/2005 (Sekretariát Matematického ústavu)
Vojtěch Jarník: Diferenciální počet I a II (Knihovna Matematického ústavu)
Demeter Krupka, Olga Krupková: Topologie a geometrie (Knihovna Matematického ústavu)
Jiří Holenda: Řady (Knihovna Matematického ústavu)

Učební texty k přednášce a cvičení: 1. Množiny, zobrazení, relace, 2.  Reálná čísla, funkce reálné proměnné, 3.  Základy topologie, 4.  Topologické vlastnosti množiny reálných čísel, 5. Posloupnosti a řady. Vše v jednom.

Zkušební otázky: pro zimní semestr.

Aktuální oznámení: Výsledky studentské ankety – zima 2004.

Počet respondentů: 16.

Přednášky:

1. přednáška 5. října 2004: Úvod do naivní teorie množin

• Zavedení pojmů množina, podmnožina, prázdná množina; zadávání množiny výčtem jejich prvků, pomocí vlastností.
  
• Základní operace s množinami: průnik sjednocení rozdíl množin.
  
• Věta 1.1 o množinových operacích (komutativita, asociativita průniku a sjednocení; tranzitivita inkluze; distributivní zákony průniku a sjednocení).
  
• Systémy množin: zavedení pojmu systém množin, operace se systémy množin (sjednocení a průnik systému množin); po dvou disjunktní systém množin.
  
• Uspořádaná dvojice, kartézský součin množin: Věta 1.2 o vlastnostech kartézského součinu a množinových operacích.
  
• Zavedení pojmu zobrazení, příklady.
  

Záznam přednášky: film se nepovedl, tabule

2. přednáška 12. října 2004: Zobrazení

• Zavedení pojmu zobrazení, definiční obor, obor hodnot, graf zobrazení hodnota zobrazení v bodě.
  
• Důležitá zobrazení: identita na množině, vložení podmnožiny do množiny, kartézské projekce, zúženi zobrazení na podmnožinu.
  
• Definice složeného zobrazení Věta 1.3 o asociativitě skládání zobrazení.
  
• Zavedení pojmů surjektivní, injektivní a bijektivní zobrazení, inverzní zobrazení, Věta 1.4 o jedinečnosti inverzního zobrazení.
  
• Zavedení pojmů obraz a vzor množiny při zobrazení, obraz zobrazení.
  
• Zavedení pojmu relace, příklady.
  

Záznam přednášky: film (250 MB), tabule

3. přednáška 19. října 2004: Relace, rozklady, operace

• Zavedení pojmů relace na množině, reflexivní, symetrická, antisymetrická tranzitivní relace, ekvivalence a (částečné) uspořádání.
• Rozklady, definice, příklady. Souvislost ekvivalence a rozkladu na množině (věta 1.6 o ekvivalenci definované rozkladem, věta 1.7 o rozkladu definovaném ekvivalencí).
• Uspořádané množiny. Definice pojmů horní (dolní) závora, maximum, minimum supremum a infimum podmnožiny uspořádané množiny, příklady.
• Binární operace, zavedení pojmů binární operace, komutativní, asociativní operace, neutrální a inverzní prvek. Příklady.
• Věty 2.1 a 2.2 o jedinečnosti neutrálního prvku a jednoznačnosti inverzního prvku.

Záznam přednášky: film se nepovedl, tabule

4. přednáška 26. října 2004: Pole, Reálná čísla

• Pole, definice.
• Věta 2.3 o algebraických vlastnostech pole, uspořádání slučitelné se sčítáním a násobením v poli, Věta 2.4 o vlastnostech uspořádání v poli.
• Definice intervalů (i nevlastních), spojitě uspořádané pole.
• Reálná čísla.
• Věta 2.5 o supremu a 2.6 o infimu, věta 2.8 kritérium existence suprema.
• Induktivní množina, definice, příklady induktivních množin, Lemma 2.9 o průniku systému induktivních množin.
• Přirozená čísla, definice.

Záznam přednášky: film (118 MB), tabule

5. přednáška 2. listopadu 2004: Přirozená, celá, racionální a iracionální čísla, funkce reálné proměnné

• Induktivní množina, definice přirozených čísel.
• Věta 2.10 o vlastnostech přirozených čísel
• Konečné, nekonečné množiny, uspořádaná n-tice kartézský součin množin, kartézská projekce
• Definice celých, racionálních a iracionálních čísel.
• Věta 2.11 o tom, že v každém intervalu délky větší než 1 leží celé číslo a Věta 2.12 o tom, že v každém neprázdném otevřeném intervalu leží racionální číslo.
• Funkce reálné proměnné, definice pojmů (ohraničenost, extrémy, monotonnost, konvexnost, konkávnost, parita) afinní funkce.

Záznam přednášky: film (115 MB), tabule

6. Přednáška 9. listopadu 2004: Základy topologie

• Objasnění definice konvexnosti/konkávnosti - souvislost se sečnou, definice mocninné funkce s přirozeným exponentem.
• Zavedení pojmů topologie, topologický prostor, otevřená množina, okolí bodu, kritérium otevřenosti množiny.
• Přirozená topologie na R.
• Indukovaná topologie na podmnožině, topologický podprostor (věta 3.1).
• Vnitřek, vnějšek, hranice, uzávěr množiny, množina hromadných bodů, jejich vlastnosti, příklady.
• Souvislý, nesouvislý topologický prostor (podprostor), příklady

Záznam přednášky: film (88,3 MB), tabule

7. Přednáška 16. listopadu 2004: Základy topologie

• Definice pojmů: Hausdorffův topologický prostor, pokrytí (otevřené, konečné), podpokrytí kompaktní množina.
• Věta 3.2 (o tom, že v Hausdorffově prostoru je kompakt uzavřená množina), věta 3.3 (o tom, že uzavřená podmnožina kompaktu je kompakt).
• Definice spojitosti v bodě.
• Věta 3.4 (zobrazení je spojité, pravě když vzor otevřené množiny je otevřená množina), věta 3.5 (spojitý obraz kompaktu je kompakt), věta 3.6 (spojitý obraz souvislé množiny je souvislá množina).

Záznam přednášky: film se nepovedl, tabule

8. Přednáška 23. listopadu 2004: Topologie R - množiny

• Homeomorfismus - definice, věta 3.8 (kompozice homeomorfismů je homeomorfismus).
• Přirozená topologie na R - zavedení pojmu a věta 4.1 (systém otevřených množin je topologie).
• Souvislé množiny: věta 4.3 (množina je souvislá právě, když je intervalem), důsledek 4.4 (spojitý obraz intervalu je interval).
• Kompaktní množiny: lemma 4.5 (interval [x,y] je kompaktní množina), věta 4.6. (množina je kompaktní právě, když je uzavřená a ohraničená), důsledek 4.7 (neprázdná kompaktní množina má maximum a minimum), důsledek 4.8 (spojitá funkce na kompaktní množině nabývá maxima a minima).

Záznam přednášky: film(102,7 MB), tabule.

9. Přednáška 30. listopadu 2004: Topologie R - funkce
Přednášela Dr. Haková.

• Spojité funkce v R, spojitost zleva a zprava, věta 4.9 o spojitosti zleva a zprava. Věta 4.10 (kritérium spojitosti funkce v bodě) její důsledek 4.11 (ε-δ definice spojitosti).
• Příklady spojitých, nespojitých funkcí, věta 4.12 (o tom, že funkce 1/x je spojitá).
• Věta 4.13 (o tom, že součet, součin a podíl spojitých funkcí jsou spojité funkce), její důsledky 4.14–4.16 (mocnina, lineární kombinace a afinní funkce jsou spojité).
• Věta 4.17 (o tom, že množina na, které se rovnají spojité funkce je uzavřená) a její důsledky 4.18 a 4.20.

Záznam přednášky: film se nedochoval pro nedostatek elektrického proudu, tabule.

10. Přednáška 7. prosince 2004: Topologie R - limity

• Věta 4.20 (každý otevřený interval je homeomorfní s R).
• Definice limity funkce v bodě, příklady. Souvislost spojitosti funkce v bodě s existencí limity v tomto bodě: věta 4.22, věta 4.23 (o jedinečnosti limity), věta 4.24 (o limitě složeného zobrazení)
• Definice pojmů rozšířená množina reálných čísel, nevlastní body, nevlastní intervaly, uspořádání a topologie rozšířené množiny reálných čísel. Věta 4.25 (zobecněná věta o supremu a infimu), nevlastní limita a limita v nevlastním bodě.
• Věta 4.26 (o limitě monotonní funkce), limita zleva, limita zprava.

Záznam přednášky: film (103,1 MB), tabule.

11. Přednáška 14. prosince 2004: Posloupnosti

• Věta 4.28 (o třech limitách), příklady; věty 4.29 a 4.30 o počítání s limitami.
• Osvěžení pojmů posloupnost a limita posloupnosti; definice hromadné hodnoty posloupnosti . Věta 5.1 (kritérium limity posloupnosti) Věta 5.2 (o tom, že množina hromadných bodů posloupnosti je uzavřená) věta 5.3 (existence hromadné hodnoty v kompaktním prostoru).
• Konvergentní, divergentní, oscilující posloupnost, věta 5.4 (o tom, že posloupnost má v rozšířené množině reálných čísel největší a nejmenší hromadnou hodnotu); limes superior; limes inferior.

Záznam přednášky: film (105 MB), tabule

12. Přednáška 4. ledna 2005: Posloupnosti funkcí

• Věta 5.5 (ekvivalence hromadné hodnoty a existence k ní konvergentní podposloupnosti), definice pojmu cauchyovská posloupnost; věta 5.6. (cauchyovská posloupnost ⇔ konvergentní).
• Posloupnosti funkcí, bodová a stejnoměrná konvergence, příklady, obor konvergence; věta 5.7 (kritérium stejnoměrné konvergence), věta 5.8.
• Souvislost spojitosti se stejnoměrnou konvergencí: věta 5.9 a Důsledek 5.10 (o záměně pořadí limit), příklady.
• Řady: definice nekonečné řady, posloupnosti částečných součtů a součtu řady; konvergence divergence a oscilace nekonečné řady. Příklady: geometrická řada, Grandiho řada.

Záznam přednášky: film (110,5 MB), tabule

13. Přednáška 11. ledna 2005: Nekonečné řady

• Zopakování pojmu nekonečná řada, součet řady, příklady konvergujících i divergujících řad, hledání součtu řady, harmonická řada diverguje.
• Věta 5.11 (Cauchy-Bolzanovo kritérium), důsledek 5.12 (Nutná podmínka konvergence), důsledek 5.13, věta 5.14 (o součtu a násobku řad).
• Věry 5.15–5.17 (pomocná tvrzení). Řady s nezápornými členy - definice; věta 5.18 (srovnávací kritérium), majoranta a minoranta řady; věta 5.19 (limitní srovnávací kritérium), příklady použití.
• Věty 5.20 (d'Alambertovo podílové kritérium), 5.21 (limitní podílové kritérium), příklady použití; věty 5.22 (Cauchyho odmocninové kritérium), 5.23 (limitní odmocninové kritérium) příklady použití.
• Alternující řady - definice, příklady; věta 5.24 (Leibnitzovo kritérium), příklady použití.

Záznam přednášky: film (121 MB), tabule

Kalendáře