Vybrané partie z matematické analýzy I

Přednáší Michal Málek, email: Michal.Malek@math.slu.cz, kalendáře, Aula, úterý 13:05-14:40.

Cvičí: Petr Blaschke, R1, čtvrtek 10:35–12:10, 18:05-19:40.

Učební texty: Tento rok nechystám vlastní texty, doporučuji ke studiu

• Texty Michala Krupky školní rok 99/00: 1. Topologie Rⁿ, 1a. Topologie Rⁿ - dodatek, 2. Derivace na Rⁿ, Věta o imlicitním a inverzním zobrazení, Derivace vyšších řádů.
  
• Výňatky z knihy Škrášek, Tichý, Základy aplikované matematiky I,II: 8. Topologie a diferenciální počet na Rⁿ (pro oboustranný tisk použijte nastavení „Short Edge Binding“)
  
• Učební text Averbuch, M.M., Matematická analýza 3-4: teoretická část, příklady a cvičení ve formátu B5 (182mm × 250mm) (pro oboustranný tisk použijte nastavení „Long Edge Binding“ a velikost papíru B5).

Aktuální oznámení: Budu se snažit sem dávat tabulové záznamy přednášky.

1. přednáška 20. září 2011.
Zopakování přirozené topologie na R, Přirozená topologie na Rⁿ, otevřená a uzavřené množiny. Normy generující přirozenou topologii na Rⁿ, jejich vzájemná ekvivalence. Spojitá zobrazení : Rⁿ → R^m, příklad.
tabule

2. přednáška 27. října 2011.
Zopakování nejdůležitějších pojmů o limitách funkcí R → R. Limita, definice pro zobrazení Rⁿ → R^m, ekvivalentní definice limity. Věta o limitě obrazů konvergentní posloupnosti při spojitém zobrazení. Postupné limity – souvislost s existencí limity. Příklady. Věty o vlastnostech spojitých funkcí (spojitý obraz kompaktu/souvislé je kompakt/souvislá, spojitá funkce Rⁿ→ R nabývá na kompaktu maxima i minima).
tabule

3. přednáška 4. října 2011.
Zavedení pojmu diferenciál funkce Rⁿ → R^m (Frechétova derivace), věta o jednoznačnosti existence diferenciálu funkce. Objasnění pojmů lineární přírůstek funkce, funkce konvergující k nule rychlejí než libovolná přímka. Příklady. Věta o součinu a násobku diferenciálu, věta o derivaci složeného zobrazení, souvislost existence diferenciálu a spojitosti funkce.
tabule

4. přednáška 11. října 2011.
Procvičení pojmu diferenciál na příkladu lineárního zobrazení. Věta o diferenciálu vektorové funkce. Význam výrazů dx (případně dx¹ a podobných). Derivace podle vektoru (ve směru), příklad, parciální derivace. Spojitá diferencovatelnost: Lemma (o výpočtu derivace ve směru). Matice parciálních derivací, věta o parciálních derivacích a diferenciálu. Věta o matici parciálních derivací složeného zobrazení. příklady.
tabule

5. přednáška 18. října 2011.
Zopakování věty o parciálních derivacích složené funkce — řětězové pravidlo, příklady. Zopakování Lagrangeovy věty o stření hodnotě pro funkce jedné proměnné — příklad užití. Věta o střední hodnotě pro funkce Rⁿ→ R. Příklady a protipříklad.
tabule

6. přednáška 25. října 2011.
Začal jsem nové téma Implicitní a inverzní zobrazení. Motivační příklad, věta o implicitním zobrazení (případ R² a R³), poznámky k výpočtu derivace implicitní funkce. Příklady existence a neexistence implicitní funkce, derivace implicitní funkce. Věta o implicitní funkci obecně. Příklad.
tabule

7. přednáška 1. listopadu 2011.
Zopakování a procvičení užití věty o implicitním zobrazení. Příklady existence a neexistence implicitně zadané funkce. Věta o inverzním zobrazení, příklady.
tabule

8. přednáška 8. listopadu 2011.
Přednášel Petr Blaschke.
tabule

9. přednáška 15. listopadu 2011.
Přednášel Petr Blaschke.
tabule

10. přednáška 22. listopadu 2011.
Diferenciál funkce více proměnných, zopakování, význam, geometrické aplikace (zejména pro pro funkce s hodnotami v R). Zopakování kvadratických forem, jejich definitnost. Taylorova věta funkcí více proměnných. Extrémy funkce více proměnných, definice, příklady; věta (nutná podmínka existence lokálního extrému).
tabule

11. přednáška 29. listopadu 2011.
Vázané extrémy. Definice problému hledání lokálních extrémů funkce na množine. Způsoby řešení hledání extrému funkce s podmínkami. Věta o Lagrangeových multiplikátorech - nutná i postačující podmínka pro obecný případ. Speciální verze Lagrangeovy věty pro R² a jednu podmínku. Příklady.
tabule

Kalendáře