Matematická analýza I

Přednáší Michal Málek, email: Michal.Malek@math.slu.cz, kalendáře, Aula, úterý 13:05–15:30.

Učební texty: Matematická analýza I,II (verze ke 30. říjnu 2006)

Literatura:
Vojtěch Jarník: Diferenciální počet I a II (Knihovna Matematického ústavu)
Demeter Krupka, Olga Krupková: Topologie a geometrie (Knihovna Matematického ústavu)
Jiří Holenda: Řady (Knihovna Matematického ústavu)
Literatura ke cvičení
A. Prágerová: Cvičení z matematiky
F. Jirásek, E. Kriegelstein, Z. Tichý:Sbírka řešených příkladů z matematiky

Stránky přednášek Matematické analýzy II.

Aktuální oznámení:
Výsledky studentské ankety – zima 2006.
Počet respondentů: 15.

Na přednášce jsme se dohodli, že přednáška bude i v zápočtovém týdnu.
Po dohodě se studenty byly stanoveny termíny zkoušek na čtvrtky: 11. ledna 2007, 18. ledna 2007 (ústní část v pátek 19. ledna v 9:00), 25. ledna 2007, 1. února 2007 a 8. února 2007. Zkouška začíná písemnou částí v 9:00, sraz účastníků je před aulou. Na zkoušku se prosím zapisujte na sekretariátu matematického ústavu.

Přednášky:

1. přednáška 26. září 2006: Úvod do naivní teorie množin

• Zavedení pojmů množina, podmnožina, prázdná množina; zadávání množiny výčtem jejich prvků, pomocí vlastností.
  
• Základní operace s množinami: průnik sjednocení rozdíl množin.
  
• Věta 1.1 o množinových operacích (komutativita, asociativita průniku a sjednocení; tranzitivita inkluze; distributivní zákony průniku a sjednocení).
  
• Systémy množin: zavedení pojmu systém množin, operace se systémy množin (sjednocení a průnik systému množin); po dvou disjunktní systém množin.
  
• Uspořádaná dvojice, kartézský součin množin: Věta 1.2 o vlastnostech kartézského součinu a množinových operacích.
  
• Zavedení pojmu zobrazení, příklady.
  
• Zavedení pojmu zobrazení, definiční obor, obor hodnot, graf zobrazení hodnota zobrazení v bodě.
  
• Důležitá zobrazení: identita na množině, vložení podmnožiny do množiny, kartézské projekce, zúženi zobrazení na podmnožinu.
  

tabule

2. přednáška 3. října 2006: Relace, zobrazení

• Definice složeného zobrazení Věta 1.3 o asociativitě skládání zobrazení.
  
• Zavedení pojmů surjektivní, injektivní a bijektivní zobrazení, inverzní zobrazení, Věta 1.4 o jedinečnosti inverzního zobrazení.
  
• Zavedení pojmů obraz a vzor množiny při zobrazení, obraz zobrazení.
  
• Zavedení pojmu relace, příklady.
  
• Zavedení pojmů relace na množině, reflexivní, symetrická, antisymetrická tranzitivní relace, ekvivalence a (částečné) uspořádání.
• Rozklady, definice, příklady. Souvislost ekvivalence a rozkladu na množině (věta 1.6 o ekvivalenci definované rozkladem).

tabule

3. přednáška 10. října 2006: Rozklady, uspořádání

• Rozklady, věta 1.7 o rozkladu definovaném ekvivalencí).
• Uspořádané množiny. Definice pojmů horní (dolní) závora, maximum, minimum supremum a infimum podmnožiny uspořádané množiny, příklady.
• Binární operace, zavedení pojmů binární operace, komutativní, asociativní operace, neutrální a inverzní prvek. Příklady.
• Věty 2.1 a 2.2 o jedinečnosti neutrálního prvku a jednoznačnosti inverzního prvku.
• Pole, definice. Věta 2.3 o algebraických vlastnostech pole.

tabule

4. přednáška 17. října 2006: Reálná čísla

• Věta 2.3 o algebraických vlastnostech pole, uspořádání slučitelné se sčítáním a násobením v poli, Věta 2.4 o vlastnostech uspořádání v poli.
• Definice intervalů (i nevlastních), spojitě uspořádané pole.
• Reálná čísla.
• Věta 2.5 o supremu a 2.6 o infimu, věta 2.7 kritérium existence suprema.
• Induktivní množina, definice, příklady induktivních množin, Lemma 2.9 o průniku systému induktivních množin.
• Přirozená čísla, definice.

tabule filmový záznam.

5. přednáška 24. října 2004: Přirozená, celá, racionální a iracionální čísla, funkce reálné proměnné

• Věta 2.10 o vlastnostech přirozených čísel
• Konečné, nekonečné množiny, uspořádaná n-tice kartézský součin množin, kartézská projekce
• Definice celých, racionálních a iracionálních čísel.
• Věta 2.11 o tom, že v každém intervalu délky větší než 1 leží celé číslo a Věta 2.12 o tom, že v každém neprázdném otevřeném intervalu leží racionální číslo.
• Funkce reálné proměnné, definice pojmů (ohraničenost, extrémy, monotonnost, konvexnost, konkávnost, parita) afinní funkce.

6. přednáška 31. října 2006: Topologický prostor

• Zavedení pojmů topologie, topologický prostor, otevřená množina, okolí bodu, kritérium otevřenosti množiny.
• Přirozená topologie na R.
• Indukovaná topologie na podmnožině, topologický podprostor (věta 3.1).
• Vnitřek, vnějšek, hranice, uzávěr množiny, množina hromadných bodů, jejich vlastnosti, příklady.
• Souvislý, nesouvislý topologický prostor (podprostor), příklady
• Definice pojmů: Hausdorffův topologický prostor, pokrytí (otevřené, konečné), podpokrytí kompaktní množina.
• Věta 3.2 (o tom, že v Hausdorffově prostoru je kompakt uzavřená množina), věta 3.3 (o tom, že uzavřená podmnožina kompaktu je kompakt).
• Definice spojitosti v bodě.

tabule Filmový záznam se bohužel nepovedl.

7. přednáška 7. listopadu 2006: Topologický prostor

• Věta 3.4 (zobrazení je spojité, pravě když vzor otevřené množiny je otevřená množina), věta 3.5 (spojitý obraz kompaktu je kompakt), věta 3.6 (spojitý obraz souvislé množiny je souvislá množina).
• Homeomorfismus - definice, věta 3.8 (kompozice homeomorfismů je homeomorfismus).
• Přirozená topologie na R - zavedení pojmu a věta 4.1 (systém otevřených množin je topologie).
• Souvislé množiny: věta 4.3 (množina je souvislá právě, když je intervalem), důsledek 4.4 (spojitý obraz intervalu je interval).
důsledek 4.5 – Darbouxova vlastnost (spojitá funkce na intervalu nabývá všech mezihodnot)

tabule Filmový záznam se bohužel nepovedl.

8. přednáška 14. listopadu 2006: Spojité funkce na R

• Kompaktní množiny: lemma 4.6 (interval [x,y] je kompaktní množina), věta 4.7. (množina je kompaktní právě, když je uzavřená a ohraničená), důsledek 4.8 (neprázdná kompaktní množina má maximum a minimum), důsledek 4.9 (spojitá funkce na kompaktní množině nabývá maxima a minima).
• Spojité funkce v R, spojitost zleva a zprava, věta 4.10 o spojitosti zleva a zprava. Věta 4.11 (kritérium spojitosti funkce v bodě) její důsledek 4.12 (ε-δ definice spojitosti).
• Příklady spojitých, nespojitých funkcí, věta 4.13 (o tom, že funkce 1/x je spojitá).

tabule filmový záznam.

9. přednáška 21. listopadu 2006: Spojité funkce na R

• Věta 4.14 (o tom, že součet, součin a podíl spojitých funkcí jsou spojité funkce), její důsledky 4.15–4.17 (mocnina, lineární kombinace a afinní funkce jsou spojité).
• Věta 4.18 (o tom, že množina na, které se rovnají spojité funkce je uzavřená) a její důsledky 4.19 a 4.20 (husté množiny).
• Věta 4.21 (každý otevřený interval je homeomorfní s R) a věta 4.22 (souvislost monotonosti spojitých funkcí s homeomorfismy).
• Definice limity funkce v bodě, příklady. Souvislost spojitosti funkce v bodě s existencí limity v tomto bodě. Kritéria existence limity věta 4.23 a věta 4.24 (ε-δ kritérium limity). Věta 4.25 (o jedinečnosti limity) a věta 4.26 (o limitě složeného zobrazení)

tabule, filmový záznam.

10. přednáška 28. listopadu 2006: Posloupnosti

• Definice pojmů rozšířená množina reálných čísel, nevlastní body, nevlastní intervaly, uspořádání a topologie rozšířené množiny reálných čísel. Věta 4.27 (zobecněná věta o supremu a infimu), nevlastní limita a limita v nevlastním bodě.
• Věta 4.28 (o limitě monotonní funkce), limita zleva, limita zprava.
• Věta 4.30 (o třech limitách), příklady. Věty 4.31 a 4.32 o počítání s limitami jsem přenechal na cvičení.
• Osvěžení pojmů posloupnost a limita posloupnosti; definice hromadné hodnoty posloupnosti . Věta 5.1 (kritérium limity posloupnosti) Věta 5.2 (o tom, že množina hromadných bodů posloupnosti je uzavřená) věta 5.3 (existence hromadné hodnoty v kompaktním prostoru).

tabule, filmový záznam.

11. přednáška 5. prosince 2006: Posloupnosti funkcí

• Konvergentní, divergentní, oscilující posloupnost, věta 5.4 (o tom, že posloupnost má v rozšířené množině reálných čísel největší a nejmenší hromadnou hodnotu); limes superior; limes inferior.
• Věta 5.5 (ekvivalence hromadné hodnoty a existence k ní konvergentní podposloupnosti), definice pojmu cauchyovská posloupnost; věta 5.6. (cauchyovská posloupnost ⇔ konvergentní).
• Posloupnosti funkcí, bodová a stejnoměrná konvergence, příklady, obor konvergence; věta 5.7 (kritérium stejnoměrné konvergence).

tabule, filmový záznam.

12. přednáška 12. prosince 2006: Řady

• Souvislost spojitosti se stejnoměrnou konvergencí: věta 5.9 a Důsledek 5.10 (o záměně pořadí limit), příklady.
• Řady: definice nekonečné řady, posloupnosti částečných součtů a součtu řady; konvergence divergence a oscilace nekonečné řady. Příklady: geometrická řada, Grandiho řada.
• Věta 5.11 (Cauchy-Bolzanovo kritérium), důsledek 5.12 (Nutná podmínka konvergence), důsledek 5.13, věta 5.14 (o součtu a násobku řad).
• Věry 5.15–5.17 (pomocná tvrzení). Řady s nezápornými členy - definice; věta 5.18 (srovnávací kritérium), majoranta a minoranta řady; věta 5.19 (limitní srovnávací kritérium).

tabule, filmový záznam.

13. přednáška 19. prosince 2006:

• Věty 5.20 (d'Alambertovo podílové kritérium), 5.21 (limitní podílové kritérium), příklady použití; věty 5.22 (Cauchyho odmocninové kritérium), 5.23 (limitní odmocninové kritérium) příklady použití.
• Alternující řady - definice, příklady; věta 5.24 (Leibnitzovo kritérium), příklady použití.
• Něco málo o absolutně a neabsolutně konvergentních řadách, definice příklady, věta (o přerovnání absolutně konvergentní řady), věta (Riemannova přerovnávací věta) bez důkazů.

tabule, filmový záznam.

Kalendáře