Matematická analýza II

Přednáší Michal Málek, email: Michal.Malek@math.slu.cz, kalendáře, Aula, úterý 14:45–16:20.

Učební texty: Kapitola Diferenciální počet na R (verze k 6. březnu 2007).
Kapitola Integrální počet na R (verze k 9. dubnu 2007).
Rejstřík (verze k 9. dubnu 2007).
Vše v jednom (verze k 9. dubnu 2007)

Literatura:
Vojtěch Jarník: Diferenciální počet I a II (Knihovna Matematického ústavu)
Demeter Krupka, Olga Krupková: Topologie a geometrie (Knihovna Matematického ústavu)
Jiří Holenda: Řady (Knihovna Matematického ústavu)
Literatura ke cvičení
A. Prágerová: Cvičení z matematiky
F. Jirásek, E. Kriegelstein, Z. Tichý: Sbírka řešených příkladů z matematiky

Stránky přednášek Matematické analýzy I.

Aktuální oznámení:

Jelikož nikdo nenavrhl žádný termín, stanovil jsem jej naprosto svévolně na čtvrtek 6. září 2007 v 9:00. Zapište se.

Kdy má být zkouškový termín z analýzy v září zájemci o zkoušku v září napište mi návrhy termínů. Zatím nikdo nenavrhl žádný termín.

Další zkouškový termín byl stanoven na pondělí 9. července 2007 tentokráte v 9:30. Zapsat se na něj můžete na sektretariátě a studenti matematického ústavu i zde.

Po dohodě se studenty jsem stanovil termíny zkoušek na čtvrtek 24. května, čtvrtek 31. května, čtvrtek 7. června, čtvrtek 14. června, pondělí 25. června, čtvrtek 28. června vše 2007. Studenti matematického ústavu se mohou zapsat zde.
Můžete si prohlédnout zkušební otázky pro letní semestr.
Bylo zrušena jedna skupina cvičení (čtvrtek 17:15–18:50 R1).

Přednášky:

1. přednáška 13. února 2007: Násobení řad

• Součin nekonečných řad, definice, věta 6.1 o (obyčejném) součinu nekonečných řad, věta 6.2 o součinu absolutně konvergentních řad, Cauchyho součin řad.
• Řady funkcí - definice, konvergence řady funkcí (bodová a stejnoměrná), posloupnost částečných součtů řady funkcí. Příklady.
• Věta 6.5, věta 6.8 (o stejnoměrně konvergentní majorantě), příklady.
• Věta 6.9 (stejnoměrná konvergence spojitých funkcí), důsledek 6.10 (záměna limit pro řady), pro řady.

2. přednáška 20. února 2007: Mocninné řady

• Mocninné řady, definice příklady, věta 6.11 (o oboru konvergence mocninné řady), poloměr a interval konvergence, příklady.
• Věta 6.12 (o absolutní konvergenci mocninných řad), důsledek 6.13 (o spojitosti součtu mocninné řady).
• Exponenciální funkce, definice, Eulerovo číslo, věta 6.14 (základní vlastnosti exponenciální funkce), logaritmus.

3. přednáška 27. února 2007: Derivace

• Goniometrické funkce, definice, vlastnosti (věta 6.19), číslo π, cyklometrické funkce.
• Derivace, motivace, definice, příklady výpočtu derivace z její definice. Derivace základních funkcí (konstatní mocninné).
• Derivace zleva zprava, věta 7.1, příklady, souvislost existence derivace a spojitosti (věta 7.2), příklady.
• Věta 7.3 (záměna pořadí limit pro derivace), derivace součtu řady člen po členu.

4. přednáška 6. března 2007: Derivace vlastnosti

• Vlastnosti derivace funkce, počítání derivací funkce věta 7.5 (o derivaci součtu a součinu funkcí), derivace složené funkce věta 7.6. důsledek 7.7 (o derivaci podílu funkcí), věta 7.8 (derivace inverzních funkcí), důsledek 7.9 (derivace inverzních funkcí k elementárním funkcím).
• Příklady výpočtu derivace složitějších funkcí.

5. přednáška 13. března 2007: Věty o střední hodnotě

• Zavedení pojmu diferenciál funkce v bodě a derivace vyššího řádu, příklady.
• Lokální extrémy funkce - definice; pojmy rostoucí v bodě, klesající v bodě, příklady. Věta 7.11 (je-li derivace kladná pak je funkce v tomto bodě rostoucí (obdobně pro klesající)), důsledek 7.12 (nutná podmínka lokálního extrému).
• Věty o přírůstku funkce: Rolleova věta (7.13), věta o střední hodnotě (7.14) a zobecněná věta o střední hodnotě (7.16). Důsledek 7.15.

6. přednáška 20. března 2007: Extrémy

• Zopakování věty o střední hodnotě derivace a pojmů konvexnost a konkávnost. Příklad: užití věty o střední hodnotě pro odhad hodnoty funkce.
• Věty 7.17 a 7.18 (užití derivace k nalezení lokálních extrémů a intervalů monotonicity).
• Definice pojmu inflexní bod. Věta 7.19 (o souvislosti konvexnosti a konkávnosti s derivací druhého řádu). Příklady.
• Věta 7.20 a Důsledek 7.21 (o existenci extrému v bodě kde je prvních n derivací rovno nule), příklady.

7. přednáška 27. března 2007: L'Hospitalovo pravidlo, Taylorova věta

• Užití derivací pro výpočet limit — L'Hospitalovo pravidlo (věty 7.22 a 7.23). Příklady.
• Význam derivací vyššího řádu, aproximace funkce polynomy, příklad; Taylorův polynom, definice, Taylorova věta (7.24), důsledek 7.25 (Lagrangeův a Cauchyův tvar zbytku).
• Příklad výpočtu čísla e s předem danou přesností. Taylorova řada - kritérium konvergence (věta 7.26).

8. přednáška 3. dubna 2007: Integrální počet - základní pojmy

• Motivační příklad k pojmu integrál (definice plochy podgrafu), vysvětlení pojmů dělení intervalu, horní a dolní součty příslušné funkci a dělení.
• Lemma 8.1 a Lemma 8.2 (o horních a dolních součtech zjemňujících se dělení).
• Definice Riemannova integrálu, integrovatelnost omezené funkce na uzavřeném ohraničeném intervalu. Příklad integrovatelné a neintegrovatelné funkce.
• Věta 8.3 a její důsledky věta 8.4 a důsledek 8.5 (kritérium integrovatelnosti funkce).

9. přednáška 10. dubna 2007: Integrál vlastnosti

• Příklad výpočtu určitého integrálu pomocí konvergence posloupnosti horních/dolních součtů dělení.
• Věta 8.7 (spojitá funkce je integrovatelná), věta 8.8 (integrál součtu a násobku funkcí), věta 8.9. (aditivita integrálu).
• Integrál jako funkce horní meze; Definice primitivní funkce, vztah dvou primitivních funkcí na intervalu (věta 8.11). Definice neurčitého integrálu, integrační konstanta.
• Příklad funkce, která nemá primitivní funkci.

10. přednáška 17. dubna 2007: Neurčitý integrál

• Integrál, jako funkce horní meze: věta 8.12 a důsledek 8.13 (o souvislosti integrálu jako funkce horní meze a primitivní funkce).
• Vlastnosti neurčitého integrálu: věta 8.14 (integrál součtu a násobku), věta 8.15 (metoda per partes), věta 8.16 (první substituční metoda), věta 8.17 (druhá substituční metoda). Příklady výpočtu integrálů pomocí metod per partes a substitučních metod.
• Věta 8.18 (Newton-Leibnitzova formule).

11. přednáška 24. dubna 2007: Nevlastní integrál

• Newton-Leibnitzova formule pro per partes a substituční metodu (důsledky 8.19 a 8.20), příklady.
• Nevlastní Riemannův integrál, rozšíření definice integrálu i pro neomezené funkce případně na integrál na nevlastním a otevřeném intervalu. Příklady.
• Integrální kritérium, příklady.

12. přednáška 15. května 2007: Rozklad na parciální zlomky

• Hledání primitivní funkce z racionální lomené funkce – rozklad na parciální zlomky.

13. přednáška 22. května 2007: Na přání
Počítali jsme příklady na přání. Ukázka aplikace matematické analýzy - analýza zvuku.
Záznam přednášky: Přednáška se nezaznamenávala.

Kalendáře