|
|
Funkcionální analýza I - cvičení
- Cvičení (5. 10. 2004)
- Základní pojmy topologie (topologická struktura, otevřená/uzavřená množina, báze topologie, topologie součinu), příklady topologických prostorů (triviální, diskrétní, přirozená topologie na R), příklady otevřených/uzavřených množin, ...
- Vektorový prostor: Definice a příklady. Grupa, pole, ...
- Spojitost zobrazení: Definice, příklady (identita mezi různými topologickými prostory)
- Topologický vektorový prostor: Definice a příklady
- Cvičení (12. 10. 2004)
Dva příklady topologických vektorových prostorů z [A]. Ověřili jsme, že se skutečně jedná o topologické vektorové prostory.
- Cvičení (19. 10. 2004)
- Dokažte, že topologický vektorový prostor je Hausdorffův právě tehdy, když pro každé x ≠ 0 existuje okolí U bodu 0 takové, že x ∉ U.
- Vyvážená množina, pohlcující množina
- Dokažte, že I1A je vyvážená množina a je rovna průniku všech vyvážených množin obsahujících A
- Zachovávání algebraických vlastností při uzávěru, zachovávání otevřenosti při algebraických operacích
- Cvičení (26. 10. 2004)
- Lemma o vlastnostech okolí nuly, Teorém o bázi okolí nuly
- Součin topologických prostorů, podprostor topologického prostoru - indukovaná topologie
- Lineární zobrazení, Lemma o spojitosti v jednom bodě
- Příklad nespojitého lineárního zobrazení (viz str. 13, 41 v [A])
- Cvičení (2. 11. 2004)
- Konvexní množina, konvexní kužel
- Konvexní (resp. lineární, afinní) kombinace, konvexní (resp. lineární, afinní) obal množiny
- Dokažte, že ve vektorovém prostoru X je lineární obal množiny A roven průniku všech vektorových podprostorů prostoru X obsahujících množinu A.
- Cvičení (9. 11. 2004)
- Konvexní funkce, epigraf
- Dokažte, že definiční obor konvexní funkce je konvexní množina.
- Dokažte: Jestliže f je konvexní funkce, pak pro každé reálné číslo c je {x| f(x) ≤ c} konvexní množina.
- Jensenova nerovnost
- Sublineární funkce
- Cvičení (16. 11. 2004)
- Lemma o sublineárních funkcích
- Minkowského funkce: definice, příklady
- Základní vlastnosti Minkowského funkce
- Dokažte, že μ(A) = μ((0,1]A).
- Cvičení (23. 11. 2004)
Hahn-Banach Theorem
- Cvičení (30. 11. 2004)
Separation Theorem
- Cvičení (7. 12. 2004)
Opennes principle: Banach theorem on open mapping
- Cvičení (14. 12. 2004)
- Pseudo-norma, norma
- Baireova věta
- Cvičení (4. 1. 2005)
- Ohraničená množina, ohraničená funkce
- Theorem on boundedness and continuity
- Systém spojitých lineárních zobrazení - stejnoměrně spojitý, stejnoměrně ohraničený, bodově ohraničený
- Cvičení (11. 1. 2005)
- Pseudo-normované a normované prostory
- Boundedness principle
|