Matematická analýza IV

Přednáší Michal Málek, email: Michal.Malek@math.slu.cz, R2 Na Rybníčku 1, úterý 13:55–16:20.

Cvičení k přednášce:
Jiřina Jahnová , R2 Na Rybníčku 1, středa 11:25–13:00

Zpět na stránku mojí výuky., nebo na stránku letního semestru.

Aktuální oznámení:
Přednáška 16. dubna 2025 nebude.
Zkušební otázky Matematická analýza IV
Průběh zkoušky: 1) Písemná část
2) Ústní část: 2 otázky ze seznamu; 15 min na přípravu (povoleny materiály z přednášky); ústní pohovor.

Učební texty: Budu se držet nedokončeného nedokonalého textu

Málek: Matematická analýza 3-4: stáhnout.

Tam kde to bude potřeba plynule přejdu k

Averbuch, Málek: Matematická analýza 3-4: stáhnout.

Co jsme probrali:
1. přednáška 18. února 2025. Dokončení integrálu na Rⁿ

2. přednáška 24. února 2025. Program semestru. Motivační příklady pro integrování na varietách. Křivky v R² a R³. Parametrizace křivky, dělení, aproximace lomenou čárou, délka křivky. Rektifikovaltelná, jednoduchá křivka. Příklady. Křivkový integrál 1. druhu.

3. přednáška 4. března 2025. Plošné integrály v R³. Motivační příklad. Plocha v R³, parametrizace. Odvození obsahu plochy, dělení, integrální součet. Věta (o výpočtu obsahu plochy). Důsledek (spec. případ - plocha je grafem funkce). Integrál 1. druhu. Motivační příklad, plošná hustota veličiny. Integrální součty. Věta (o výpočtu plošného integrálu 1. druhu). Příklad. Plošný integrál 2. druhu, tok plochou. Věta (Gauss-Ostrogradsky).

4. přednáška 11. března 2025. Věta (Speciální Stokesova), Příklad. Věta o výpočtu plošného integrálu druhého druhu. Operátory divergence, rotace. Formulace Greenovy, Gauss-Ostrogradského a Stokesovy věty pomocí operátorů. Obecná Stokesova věta. Příklady výpočtů.

5. přednáška 18. března 2025. Neproběhla.

6. přednáška 25. března 2025. Základy diferenciální geometrie, souřadnicový systém, hladký Rⁿ atlas, hladká n-rozměrná varieta. Příklad. Varieta z okrajem. Věta (existence spočetného atlasu), Věta (okraj má strukturu n-1 rozměrné variety). Souřadnicové vyjádření zobrazení variet. Tečný prostor k varietě v bodě, jeho báze a dimenze. diferenciální 1-formu. Báze prostoru 1-forem.

7. přednáška 2. dubna 2025. Diferencovatelné p-formy, souřadnicové vyjádření, pull-back diferenciální p-formy.

8. přednáška 9. dubna 2025. Objemový element na varietě, orientace, orientace hranice (vnější normálou). Integrování diferenciálních p-forem nejprve na p-rozměrné krychli v R^p a poté na obecné p-rozměrné singulární krychli v R^p. hranice krychle, řetězec. Vnější derivace diferenciální formy. Stokesova věta pro singulární krychli a její důkaz.

9. přednáška 15. dubna 2025. Dokončení důkazu Stokesovy věty pro singulární krychli.
Základy komplexní analýzy, komplexní čísla, operace s komplexními čísly. Topologické vlastnosti množiny komplexních čísel, norma. Zobrazení na množině C. Derivace, Cauchy-Riemannovy rovnice.

10. přednáška 22. dubna 2025. Holomorfní funkce. Křivkový integrál, metody výpočtu. Věta o deformaci integrální cesty. Cauchyho integrální formule. Příklady.

11. přednáška 29. dubna 2025.

Užitečné odkazy: Rozvrhy MU,