Přednáší Michal Málek, email: Michal.Malek@math.slu.cz, R2 Na Rybníčku 1, úterý 9:45–11:20 a čtvrtek 13:35–15:30.
Cvičení k přednášce:
Jiřina Jahnová , RZ Na Rybníčku 1, středa 9:45–11:20
Zpět na stránku mojí výuky., nebo na stránku letního semestru.
Aktuální oznámení:
Zatím nic.
Učební texty: Budu se držet nedokončeného nedokonalého textu
Co jsme probrali:
1. přednáška 1. října 2024.
Začali jsem normované prostory. Norma, koule, topologie indukovaná normou, Lemma 1.1, ohraničenost.
Příklady normovaných prostorů. Spojitost v normovaných prostorech, Věta 1.2 (epsilon-delta kritérium
spojitosti), norma a skalární násobek jako spojitá zobrazení. Silnější a slabší norma, ekvivalence
norem. Věta 1.3. a 1.4. (o ekvivalenci norem), Důsledek 1.5 (o ohreničenosti).
V textu přibližně po stranu 3.
2. přednáška 3. října 2024.
Zopakování spojitosti Věta 1.6. Limita v normovaných prostorech, poznámka o nevlastních bodech. Věta 1.7.
(o souvislosti limity a spojitosti). Příklad.
Rn jako normovaný prostor. Normy ||.||1, ||.||2 a
||.||∞, Lemma 1.8 Lemma 1.9 (jejich vlastnosti) a Věta 1.10 (jejich ekvivalence). Přirozená
topologie na Rn. Normy ||.||p, pro p,>1 Příklady: koule
definované těmito normami.
Rn jako součin topologických prostorů R. Součinová topologie.
Báze kvádrů v Rn. Věta 1.11 (ekvivalence součinové topologie s přirozenou)
Složky funkce, Věty 1.12.1.13. Věta 1.14 (souvislost limity a jednorozměrné - parciální limity),
Důsledek 1.15. Příklady limit.
V textu přibližně po stranu 6.
3. přednáška 8. října 2024.
Zopakování pojmu kompaktnost v topologických prostorech a na R. Věta 1.16 (o součinu
kompaktních topologických prostorů), Důsledky 1.17, 1.18, 1.19 (kompaktnost uzavřené koule).
Spojitost základních operací sčítání a násobení. Věta 1.20 (kritérium kompaktnosti).
V textu přibližně po stranu 8.
4. přednáška 10. října 2024.
Norma na konečněrozměrných vektorových prostorech.
Věta 1.21 (ekvivalence norem), Prostory lineárních zobrazení normovaných prostorů. Norma
lineárního zobrazení Lemma 1.22. Příklady. Matice lineárního zobrazení, norma matice.
Věta 1.23 (základní nerovnost).
V textu přibližně po stranu 10.
5. přednáška 15. října 2024.
Začal jsem derivaci prvního řádu funkcí Rn do Rm
analogií s diferenciálem reálných funkcí, Zbytková funkce, Frechetova derivace diferencovatelnost.
Věta 2.1 (jednoznačnost), příklad. Věta 2.2 (o diferenciálu). Poznámka: neexistuje nevlastní derivace.
Věta 2.3 (souvislost diferencovatelnosti a spojitosti).
V textu přibližně po stranu 12.
6. přednáška 17. října 2024.
Zopakování pojmu derivace, tečná nadrovina, Příklad R2 do R.
Pomocné Lemma 2.4. a Věta 2.5 (o derivaci složeného zobrazení). Užitečné věty 2.6., 2.7
(diferencovatelnost konstanty a lineárního zobrazení). Věta 2.8 (derivace po složkách).
Derivace součtu a součinu: Věta 2.9. a Věta 2.10 (derivace lineární kombinace).
V textu přibližně po stranu 14.
7. přednáška 22. října 2024.
Začali jsme příkladem pro vysvětlení pojmů.
Derivace podle vektoru, definice, označení a příklad. Lemma 2.11 (výpočet derivace podle vektoru).
Gateauxova derivace, definice, znační a příklad. Lemma 2.22 (souvislost Frechet a Gateaux derivace).
Parciální funkce, parciální derivace, Věta 2.13 (počítání parciální derivace).
V textu přibližně po stranu 17.
8. přednáška 24. října 2024.
Parciální derivace, parciální zobrazení. Věta 2.13 (o výpočtu parciální derivace), matice
parciálních derivací. Věta 2.14 (o bázi diferenciálu v kanonických bázích). Věta 2.15 (o matici
parciálních derivací složeného zobrazení.) Příklady. Zopakování věty o střední hodnotě v R.
Věta 2.16 (o střední hodnotě pro funkce), Důsledek 2.17. Příklad proč nelze jednoduše zobecnit.
V textu přibližně po stranu 19.
9. přednáška 29. října 2024.
Zopakoval jsem větu o střední hodnotě pro funkce.
Věta 2.18 (o střední hodnotě pro zobrazení), Důsledek 2.19. Spojitá diferencovatelnost,
definice a příklad. Věta 2.20 a 2.21.
V textu přibližně po stranu 19.
10. přednáška 31. října 2024.
Zopakoval jsem spojitou diferencovatelnost. Lemma 2.22 a Věta 2.23.
Gradient. Příklady.
V textu přibližně po stranu 22.
11. přednáška 5. listopadu 2024.
Začali jsme nové téma Inverzní a implicitní zobrazení. Příklady funkcí s lokální inverzí v R.
Věta 3.1 (o inverzním zobrazení v R). Příklad funkce zadané implicitně.
Věta 3.2 (o implicitním zobrazení R2→R), příklad.
Druhá derivace implicitní funkce.
V textu přibližně po stranu 25.
12. přednáška 7. listopadu 2024.
Zopakování věty o implicitní funkci pro R2→R.
Věta 3.3 (o implicitní funkci R3→R), Příklad.
Formulace věty 3.4 (o inverzní funkci Rn→Rn).
Pomocné Lemma 3.5.
V textu přibližně po stranu 27.
13. přednáška 12. listopadu 2024.
Pomocné Lemma 3.6. a Lemma 3.7 a 3.8.
V textu přibližně po stranu 29.
14. přednáška 14. listopadu 2024.
Příklad na větu o inverzním zobrazení R2→R2.
Věta 3.9 o implicitním zobrazení.
V textu přibližně po stranu 30.
15. přednáška 19. listopadu 2024.
Příklad na větu o implicitním zobrazení, případ
R2×R2→R2.
Začali jsme novou kapitolu Derivace vyšších řádů.
Bilineární formy, symetrie, antisymetrie.
V textu přibližně po stranu 31.
16. přednáška 21. listopadu 2024.
Kvadratické zobrazení asociované s bilineárním
zobrazením. Věta 4.1. Norma kvadratického zobrazení.
Derivace druhého řádu (Frechétova, podle vektoru, parciální derivace druhého řádu).
Lemma 4.3 a Lemma 4.4 (o reprezentaci derivace podle vektoru).
Spojitá diferencovatelnost. Věty 4.5 a 4.6 (analogie tvrzení u první derivace).
Dvakrát spojitě diferencovatelné zobrazení, třídy C2. Lemma 4.7 (záměna derivace
podle vektoru), Věta 4.8 (Schvarzova o symetrii) druhé derivace.
V textu přibližně po stranu 35.
17. přednáška 26. listopadu 2024.
Multilineární a homogenní zobrazení, symetrie antisymetrie. Příklady.
Derivace p-tého řádu, derivace p-tého řádu podle vektorů, p-tá parciální derivace.
Příklady.
Reprezentace pomocí parciálních derivací Věta 4.9.
Spojitá diferencovatelnost, Věta 4.10 (o symetrii derivace), Důsledek 4.11 (o symetrii
parciálních derivací).
V textu přibližně po stranu 36.
18. přednáška 28. listopadu 2024. Odpadá.
19. přednáška 3. prosince 2024.
Lemma 4.12, 4.13, Věta 4.14. Taylorova věta pro funkci Rn→R - Věta 4.15.
Příklad - nic moc.
Začali jsme kapitolu 5 Extrémy funkcí více proměnných. Ostré/neostré lokální maximum/minimum.
Věta 5.1 (zobecněná Fermatova). Příklad.
V textu přibližně po stranu 39.
20. přednáška 5. prosince 2024. Odpadá.
21. přednáška 10. prosince 2024.
Definitnost kvadratického zobrazení. Příklady.
Stacionární bod. Lemma 5.3. Věta 5.4. (postačující podmínka lok. extrému).
Příklad. Diskuse o semidefinitnosti. Příklad.
Vázané extrémy, definice problému, příklad.
Věta 5.5 (o parametrizaci množiny). Příklad.
V textu přibližně po stranu 41.
22. přednáška 12. prosince 2024.
Lagrangeovy multipikátory věty 5.6 a 5.7. Příklad.
Začali jsme nové téma Riemannův integrál na Rn. Riemannův integrál na
obdélníku z omezené funkce. n-rozměrný objem obdélníku, dělení, zjemění, společné
zjemění. Horní a dolní součet příslušný k dělení, Lemma 6.1 a 6.2, důsledek 6.3.
Horní a dolní integrál, integrovatelnost ohraničené funkce na obdélníku.
V textu přibližně po stranu 47.
23. přednáška 17. prosince 2024.
Věta 6.4 (součet a skalární násobek), Věta 6.5 (aditivita)
a Věta 6.6 (kritérium integrovatelnosti). Příklad.
Množina Lebesguovy míry nula. Příklady,
V textu přibližně po stranu 48.
24. přednáška 19. prosince 2024.