Přednáší Michal Málek, email: Michal.Malek@math.slu.cz, R1 Na Rybníčku 1, středa 9:45-12:10.
Cvičení k přednášce:
Veronika Rýžová , R1 Na Rybníčku 1, pondělí 8:05–9:40 a čtvrtek 14:45–16:20.
Michaela Záškolná, R2 Na Rybníčku 1, úterý 15:35–17:10 a čtvrtek 16:25–18:00.
Zpět na stránku mojí výuky., nebo na stránku letního semestru.
Aktuální oznámení:
Zkušební otázky Matematická analýza I
Průběh zkoušky:
1) Písemná část
2) Ústní část: 2 otázky ze seznamu; 15 min na přípravu (povoleny materiály z přednášky); ústní pohovor.
Učební texty: Budu se držet textu
Co jsme probrali:
1. přednáška 2. října 2024.
Úvod. Základy naivní teorie množin, množina, prvek,
sjednocení a průnik množin, inkluze. Základní tvrzení o vlastnostech sjednocení a průniku množin.
Uspořádaná dvojice, kartézský součin množin, základní vlastnosti kartézského součinu (věta 1.2)
V textu přibližně po stranu 7.
2. přednáška 9. října 2024.
Systém množin, sjednocení a průnik systému množin, příklady.
Definice zobrazení množin, skládání zobrazení, asociativita skládání zobrazení (věta 1.3).
Injektivní, surjektivní, bijektivní zobrazení, inverze zobrazení.
Příklady. Věty 1.4 a 1.6. Obraz a vzor množiny při zobrazení.
V textu přibližně po stranu 12.
3. přednáška 16. října 2024.
Zopakování pojmu zobrazení.
Relace, reflexivní, symetrická, tranzitivní relace; relace ekvivalence, rozklad definovaný
ekvivalencí, příklady. Antisymetrická relace, uspořádání, maximum, minimum, supremum a infimum
množiny.
Začali jsme téma 2. Reálná čísla. Binární operace, komutativní, asociativní operace, příklady.
Neutrální prvek vzhledem k operaci, inverzní prvek věty 2.1, 2.2 o jednoznačnosti.
V textu přibližně po stranu 20.
4. přednáška 23. října 2024. Číselné pole, základní vlastnosti věta 2.3. Příklady číselných polí.
Uspořádání kompatibilní, úplné, věta 2.4, spojité uspořádání.
Reálná čísla, shora (zdola) ohraničená množina, horní (dolní) závora. Věta 2.5 o supremu
(2.6 o infimu). Věta 2.7 kritérium suprema.
Pomocné tvrzení 2.9. Definice přirozených čísel. Věta 2.10 základní vlastnosti přirozených
čísel.Definoval jsem pojmy n-prvková množina, konečná, nekonečná množina, uspořádaná
n-tice, kartézský součin množin, kartézská mocnina a i-tá kartézská projekce.
Posloupnost prvků množiny.
V textu přibližně po stranu 25.
5. přednáška 30. října 2024.
Definovali jsem celá a racionální čísla. Věta 2.11 a věta 2.12 (o hustotě racionálních čísel)
s důkazy. Odstavec 2.6. Funkce reálné proměnné, definice reálné funkce. Definice pojmů shora,
zdola ohraničená funkce na množině. Maximum, minimum, supremum a infimum funkce na množině, extrémy.
Funkce rostoucí klesající, nerostoucí, neklesající. Příklady.
Periodická funkce. Funkce konvexní a konkávní.
Afinní funkce, věta 2.13.
Součet a součin funkcí. Libovolná mocnina xn čísla
a mocninné funkce. Věta 2.15 (o vlastnostech mocninných funkcí).
V textu přibližně po stranu 29.
6. přednáška 6. listopadu 2024.
Absolutní hodnota, celá část, Dirichletova a Riemannova funkce.
Začal jsem souběžně probírat kapitoly 3 a 4. Topologii budu uvažovat pouze na R.
Definice Přirozená topologie na R, otevřené a uzavřené množiny, příklady.
Okolí bodu. Vnitřek, vnějšek hranice a uzávěr množiny. Spousta příkladů.
Spojitost definice pomocí okolí, Věta 4.11. (kritérium spojitosti), důsledek 4.12.
(ε-δ kritérium spojitosti), příklady spojitých a nespojitých funkcí.
V textu strany 37,38,41,43.
7. přednáška 13. listopadu 2024.
Spojitost zprava a zleva. Věta 4.10.
Souvislost, nesouvislost, Věty 4.2. a 4.3. interval a souvislost na R.
Důsledek 4.4 (Bolzanova věta), Důsledek 4.5 (Darbouxova vlastnost).
Pokrytí, kompaktnost příklady. Poznámky o maximu a minimu kompaktních množin.
Lemma 4.6. (Heine-Borelova věta). Věta 4.7. souvislost ohraničenosti a uzavřenosti
s kompaktností. Důsledek 4.8, 4.9 (Weierstrassova věta).
V textu přibližně po stranu 42.
8. přednáška 20. listopadu 2024.
Věta 4.14 (o spojitosti součtu, součinu a podílu spojitých funkcí), spojitost libovolné
mocniny – důsledek 4.15.
Stejnoměrná spojitost, definice příklady. Věta 4.22. Věta 4.23 (Heine-Cantorova).
Definice limity reálné funkce. Hromadný bod definičního oboru. Věta 4.25 (definice limity pomocí
okolí), Důsledek 4.26 (ε-δ kritérium limity). Věta 4.27 (jednoznačnost limity). Limita
složeného zobrazení Věta 4.28. Rozšířená množina reálných čísel,
Zobecněná věta o supremu a infimu Věta 4.29.
Limita monotonní funkce věta 4.31 a věta 3.32 (o limitách zleva a zprava).
Příklady. Věta 4.33 (o třech limitách), příklady.
V textu přibližně po stranu 49.
9. přednáška 28. listopadu 2024.
Věty o počítání s limitami věta 4.34, 4.35.
Začali jsme novou kapitolu Posloupnosti. Definice posloupnosti, příklady. Limita posloupnosti
věta 5.1. Definice hromadné hodnoty, příklady. Věta 5.3 (o hromadných hodnotách a limitě). Konvergentní,
divergentní a oscilující posloupnost. Limes superior, limes inferior, vybraná podposloupnost příklady.
Věta 5.5 (o limitě vybrané podposloupnosti).
Cauchyovská posloupnost, příklady. Věta 5.6 (konvergence cauchyovské posloupnosti).
V textu přibližně po stranu 58.
10. přednáška 4. prosince 2024.
Začali jsme nové téma Derivace. Motivační příklad – tečna ke grafu. Definice derivace.
Derivace základních funkcí. Věta 7.2. (souvislost derivace a spojitosti). Základní vlastnosti
derivace, Věta 7.3 (derivace součtu a součinu), příklady derivace složitějších funkcí.
Věta 7.6. (o derivaci složené funkce), příklady.
V textu přibližně po stranu 90.
11. přednáška 11. prosince 2024.
Věta (o derivaci inverzní funkce), příklady. Definice diferenciálu funkce, věta 7.10 (vztah derivace
a diferenciálu funkce). Derivace vyššího řádu, příklady.
Extrémy funkce, definice a příklady. Lokální maxima/minima funkce. Věta 7.11
(kladná derivace - rostoucí funkce), Důsledek 7.12 (nutná podmínka lokálního extrému),
příklady. Věta 7.14 (Rolleova), Věta 7.14 (Lagrangeova o střední hodnotě).
Věta 7.16 (Cauchyho o střední hodnotě). Důsledek 7.15. Kritérium lokálního extrému
V textu přibližně po stranu 95.
12. přednáška 18. prosince 2024.
Věta 7.18. Konvexní a konkávní funkce,
souvislost s derivací Věta 7.19. Dokončení lokálních extrémů funkce Věta 7.20, Důsledek 7.21.
L'Hospitalovo pravidlo Věty 7.22 a 7.23. Příklad.
Taylorův polynom věta 7.24. Příklad.
V textu přibližně po stranu 99.