Matematická analýza II

Přednáší Michal Málek, email: Michal.Malek@math.slu.cz, R1 Na Rybníčku 1, čtvrtek 9:45-12:10.

Cvičení k přednášce:
Michaela Záškolná , R1 Na Rybníčku 1, úterý 15:35–17:10 a R1 Na Rybníčku 1, čtvrtek 13:55–15:30.

Zpět na stránku mojí výuky, nebo na stránku zimního semestru.

Aktuální oznámení:
Přednáška 18. dubna 2025 odpadá (případně bude nahrazena na konci semestru). Zkušební otázky Matematická analýza II
Průběh zkoušky: 1) Písemná část
2) Ústní část: 2 otázky ze seznamu; 15 min na přípravu (povoleny materiály z přednášky); ústní pohovor.

Učební texty: Budu se držet textu

Pro zájemce také:

Co jsme probrali:
1. přednáška 19. února 2025. 5.3 Posloupnosti funkcí.
Zopakoval jsem pojmy kolem posloupností reálných čísel (hromadná hodnota, limita, konvergence). Zavedl jsem pojem posloupnosti reálných funkcí. Definoval jsem pojem bodová a stejnoměrná konvergence, obor konvergence, příklady. Ilustroval jsem rozdíl mezi bodovou a stejnoměrnou konvergencí. Věta 5.7. (o majorantě), Věta 5.9. (spojitost stejnoměrné limity), Důsledek 5.10 (o záměně limit). Začali jsme kapitolu nekonečné řady. Definovali jsme nekonečnou řadu danou posloupností reálných čísel, posloupnost částečných součtů, konvergence, divergence, oscilace řada. Příklady: Geometrická řada, Harmonická řada, Grandiho řada, jejich konvergence. Věta 5.11 (Cauchy-Bolzanovo kritérium konvegence), důsledek 5.12 (Nutná podmínka konvegence).
V textu přibližně po stranu 61

2. přednáška 26. února 2025. Zopakoval jsem základní pojmy týkající se nekonečných řad posloupnost částečných součtů, konvergence, divergence, oscilace. Věta 5.14 (o součtu řad a násobku řady), věta 5.15 a 5.16, věta 5.17 (o shlukování). Řady s nezápornými čísly. věta 5. 18 (Srovnávací kritérium), příklady. Věta 5.19 (Limitní srovnávací kritérium), příklady. Věta 5.20 (d'Alambertovo podílové kritérium), Věta 5.21 (limitní podílové kritérium). příklady. Příklady. Věta 5.22 (Cauchyho odmocninové kritérium) a věta 5.23 (limitní odmocninové kritérium). Příklady.
V textu přibližně po stranu 64

3. přednáška 5. března 2025. Alternující řady, definice, Věta 5.24 (Leibnizovo kritérium), příklad. Pokračovali jsme v řadách s nezápornými členy. Absolutně konvergentní řady a neabsolutně konvergentní řady, příklady. Věta (o přerovnání absolutně konvergentní řady). Neabsolutně konvergentní řady a Lemma 5.28,5.29. Věta 5.30 (Riemannova přerovnávací). 6. Nekonečné řady funkcí.
Násobení číselných řad - (obyčejný) součin řad. Věta 6.1. a Věta 6.2 o součinu řad. Příklady.
V textu přibližně po stranu 74.

4. přednáška 12. března 2025. Neproběhla.

5. přednáška 19. března 2025. Nekonečné řady funkcí. Bodová a stejnoměrná konvergence, obor konvergence. Příklady. Věta 6.8. (o konvergentní majorantě). Příklad. Věta 6.9. (o spojitosti součtu řady funkcí), Důsledek 6.10. Mocninné řady. Definice, základní pojmy, střed, koeficienty. Věta 6.11 (o intervalu konvergence mocninné řady). Příklady. Věta 6.12 (o stejnoměrné konvergenci mocninné řady). Důsledek 6.13 (o spojitosti mocninné řady). Exponenciální funkce. Věta 6.14 a důsledek 6.15.
V textu přibližně po stranu 77.

6. přednáška 26. března 2025. Základní funkce definované jako součet řady funkcí a jejich inverze: Exponenciální funkce, logaritmus, sinus, arc sin, cos,... Jejich vlastnosti Věty 6.16–6.20. Taylorova řada - motivace, zopakování pojmu Taylorův polynom, Věta 7.26. (Taylorova)
V textu přibližně po stranu 81.

7. přednáška 2. dubna 2025. 8. Integrální počet v R.
Motivační příklad k Riemannovu integrálu. Pojmy: podgraf, dělení intervalu, integrální součty, zjemnění dělění. Lemma 8.0, 8.1, 8.2. Horní a dolní integrál, (Riemannův) integrál. Příklad integrovatelná a neintegrovatelné funkce (Dirichletova funkce). Lemma 8.3, Věta 8.4 a Důsledek 8.5 (Kritérium integrovatelnosti). Příklad výpočtu integrálu z definice (identita na [0,1]). Příklad integrovatelná funkce nespojitá v konečně mnoha bodech.
V novém textu přibližně po stranu 112.

8. přednáška 9. dubna 2025. Věta 8.8 (spojitá funkce je integrovatelná), Věta 8.9 (integrál součtu a skalárního násobku). Doplnění důsledku věty 8.9 (Množina Riemannovsky integrovatelných funkcí je vektorový prostor). Věta 8.10 (o integrálu na sjednocení intervalů). Definice množiny Lebesgueovy míry nula. Příklady. Cantorova množina (nespočetná množina míry nula).
V novém textu přibližně po stranu 114.

9. přednáška 16. dubna 2025. Definice množiny Lebesgueovy míry nula. Příklady. Definice oscilace funkce, příklady. Pomocná tvrzení: Lemma 8.13, 8.14, 8.15, 8.16, 8.17, 8.18. Věta 8.19 (Lebesgueova – kritérium integrovatelnosti).
V novém textu přibližně po stranu 117.

10. přednáška 23. dubna 2025. Dvě věty o střední hodnotě integrálu. Definoval jsem Primitivní funkci, neurčitý integrál jako množinu primitivních funkcí (lišící se na intervalu o konstantu), Věta 8.20. Věta 8.21 (integrál jako funkce horní meze). Důsledek 8.22 (existence primitivní funkce ke spojité funkci). Věta 8.24 (integrování Per Partes). Příklady. Věta 8.25 (substituční metoda I. druhu), příklady. Věta 8.26 (substituční metoda II. druhu), příklady.
V novém textu přibližně po stranu 120.

11. přednáška 30. dubna 2025.

Užitečné odkazy: Rozvrhy MÚ,