Přednáší Michal Málek, email: Michal.Malek@math.slu.cz, R2 Na Rybníčku 1, pondělí 13:55–15:30 a úterý 15:35–17:10.
Cvičení k přednášce:
Jiřina Jahnová , RZ Na Rybníčku 1, středa 8:05–9:40
Zpět na stránku mojí výuky., nebo na stránku letního semestru.
Aktuální oznámení:
Průběh zkoušky:
1) Písemná část
2) Ústní část: 2 otázky ze seznamu; 15 min na přípravu (povoleny materiály z přednášky); ústní pohovor.
Učební texty: Budu se držet nedokončeného nedokonalého textu
Co jsme probrali:
1. přednáška 25. září 2023.
Začali jsem normované prostory. Norma, koule, topologie indukovaná normou, Lemma 1.1, ohraničenost.
Příklady normovaných prostorů. Spojitost v normovaných prostorech, Věta 1.2 (epsilon-delta kritérium
spojitosti), norma a skalární násobek jako spojitá zobrazení. Silnější a slabší norma, ekvivalence
norem. Věta 1.3. a 1.4. (o ekvivalenci norem), Důsledek 1.5 (o ohreničenosti).
V textu přibližně po stranu 3.
2. přednáška 26. září 2023.
Zopakování spojitosti Věta 1.6. Limita v normovaných prostorech, poznámka o nevlastních bodech. Věta 1.7.
(o souvislosti limity a spojitosti). Příklad.
Rn jako normovaný prostor. Normy ||.||1, ||.||2 a
||.||∞, Lemma 1.8 Lemma 1.9 (jejich vlastnosti) a Věta 1.10 (jejich ekvivalence). Přirozená
topologie na Rn. Normy ||.||p, pro p,>1 Příklady: koule
definované těmito normami.
Rn jako součin topologických prostorů R. Součinová topologie.
Báze kvádrů v Rn. Věta 1.11 (ekvivalence součinové topologie s přirozenou)
Složky funkce, Věty 1.12.1.13. Věta 1.14 (souvislost limity a jednorozměrné - parciální limity),
Důsledek 1.15. Příklady limit.
V textu přibližně po stranu 6.
3. přednáška 2. října 2023. Neproběhla.
4. přednáška 3. října 2023.
Zopakování pojmu kompaktnost v topologických prostorech a na R. Věta 1.16 (o součinu
kompaktních topologických prostorů), Důsledky 1.17, 1.18, 1.19 (kompaktnost uzavřené koule).
Spojitost základních operací sčítání a násobení. Zapomněl jsem větu 1.20 (kritérium kompaktnosti).
V textu přibližně po stranu 8.
5. přednáška 9. října 2023.
Dodělal jsem Větu 1.20 (kritérium kompaktnosti). Norma na konečněrozměrných vektorových prostorech.
Věta 1.21 (ekvivalence norem), Prostory lineárních zobrazení normovaných prostorů. Norma
lineárního zobrazení Lemma 1.22. Příklady. Matice lineárního zobrazení, norma matice.
Věta 1.23 (základní nerovnost).
V textu přibližně po stranu 10.
6. přednáška 10. října 2023.
Začal jsem derivaci prvního řádu funkcí Rn do Rm
analogií s diferenciálem reálných funkcí, Zbytková funkce, Frechetova derivace diferencovatelnost.
Věta 2.1 (jednoznačnost), příklad. Věta 2.2 (o diferenciálu). Poznámka: neexistuje nevlastní derivace.
Věta 2.3 (souvislost diferencovatelnosti a spojitosti).
V textu přibližně po stranu 12.
7. přednáška 16. října 2023.
Zopakování pojmu derivace, tečná nadrovina, Přkáklad R2 do R.
Pomocné Lemma 2.4. a Věta 2.5 (o derivaci složeného zobrazení). Užitečné věty 2.6., 2.7
(diferencovatelnost konstanty a lineárního zobrazení). Věta 2.8 (derivace po složkách).
Derivace součtu a součinu: Věta 2.9. a Věta 2.10 (derivace lineární kombinace).
V textu přibližně po stranu 14.
8. přednáška 17. října 2023.
Derivace podle vektoru, definice, označení a příklad. Lemma 2.11 (výpočet derivace podle vektoru).
Gateauxova derivace, definice, znační a příklad. Lemma 2.22 (souvislost Frechet a Gateaux derivace).
Parciální funkce, parciální derivace, Věta 2.13 (počítání parciální derivace).
V textu přibližně po stranu 17.
9. přednáška 23. října 2023.
Parciální derivace, parciální zobrazení. Věta 2.13 (o výpočtu parciální derivace), matice
parciálních derivací. Věta 2.14 (o bázi diferenciálu v kanonických bázích). Věta 2.15 (o matici
parciálních derivací složeného zobrazení.) Příklady. Zopakování věty o střední hodnotě v R.
V textu přibližně po stranu 18.
10. přednáška 24. října 2023. Neproběhla, akademický den.
11. přednáška 30. října 2023.
Zopakoval jsem větu o střední hodnotě na R. Zopakoval jsem derivaci podle vektoru.
Věta 2.16 (o střední hodnotě pro funkce), Důsledek 2.17. Příklad proč nelze jednoduše zobecnit.
Věta 2.18 (o střední hodnotě pro zobrazení), Důsledek 2.19. Spojitá diferencovatelnost,
definice a příklad. Věta 2.20 a 2.21.
V textu přibližně po stranu 21.
12. přednáška 31. října 2023.
Zopakoval jsem spojitou diferencovatelnost. Lemma 2.22 a Věta 2.23.
Příklady.
V textu přibližně po stranu 22.
13. přednáška 6. listopadu 2023.
Začali jsme nové téma Inverzní a implicitní zobrazení. Příklady funkcí s lokální inverzí v R.
Věta 3.1 (o inverzním zobrazení v R). Příklad funkce zadané implicitně.
Věta 3.2 (o implicitním zobrazení R2→R), příklad.
Druhá derivace implicitní funkce.
V textu přibližně po stranu 25.
14. přednáška 7. listopadu 2023.
Zopakování věty o implicitní funkci pro R2→R.
Věta 3.3 (o implicitní funkci R3→R), Příklad.
Formulace věty 3.4 (o inverzní funkci Rn→Rn).
Pomocné Lemma 3.5.
V textu přibližně po stranu 27.
15. přednáška 13. listopadu 2023.
Pomocné Lemma 3.6. a Lemma 3.7 a 3.8.
V textu přibližně po stranu 29.
16. přednáška 14. listopadu 2023.
Příklad na větu o inverzním zobrazení R2→R2.
Věta 3.9 o implicitním zobrazení. Příklad pro zobrazení
R2×R2→R2
V textu přibližně po stranu 30.
17. přednáška 20. listopadu 2023.
Začali jsme novou kapitolu Derivace vyšších řádů.
Bilineární formy, symetrie, antisymetrie. Kvadratické zobrazení asociované s bilineárním
zobrazením. Věta 4.1. Norma kvadratického zobrazení.
Derivace druhého řádu (Frechétova, podle vektoru, parciální derivace druhého řádu).
Lemma 4.3 a Lemma 4.4 (o reprezentaci derivace podle vektoru).
V textu přibližně po stranu 30.
18. přednáška 21. listopadu 2023.
Spojitá diferencovatelnost. Věty 4.5 a 4.6 (analogie tvrzení u první derivace).
Dvakrát spojitě diferencovatelné zobrazení, třídy C2. Lemma 4.7 (záměna derivace
podle vektoru), Věta 4.8 (Schvarzova o symetrii) druhé derivace.
Multilineární a homogenní zobrazení, symetrie antisymetrie. Příklady.
V textu přibližně po stranu 35.
19. přednáška 27. listopadu 2023.
Zopakování pojmu diferenciál vyššího řádu (porovnání s derivací vyššího řádu).
Reprezentace pomocí parciálních derivací.
Lemma 4.12, 4.13, Věta 4.14. Taylorova věta pro funkci Rn→R - Věta 4.15.
Příklad - nic moc.
Začali jsme kapitolu 5 Extrémy funkcí více proměnných. Ostré/neostré lokální maximum/minimum.
Věta 5.1 (zobecněná Fermatova). Příklad.
V textu přibližně po stranu 39.
20. přednáška 28. listopadu 2023.
Definitnost kvadratického zobrazení. Příklady.
Stacionární bod. Lemma 5.3. Věta 5.4. (postačující podmínka lok. extrému).
Příklad. Diskuse o semidefinitnosti. Příklad.
V textu přibližně po stranu 41.
21. přednáška 4. prosince 2023.
Vázané extrémy, definice problému, příklad.
Věta 5.5 (o parametrizaci množiny). Příklad.
Lagrangeovy multipikátory věty 5.6 a 5.7. Příklad.
V textu přibližně po stranu 43.
22. přednáška 5. prosince 2023. Neproběhla.
23. přednáška 11. prosince 2023.
Začali jsme nové téma Riemannův integrál na Rn. Riemannův integrál na
obdélníku z omezené funkce. n-rozměrný objem obdélníku, dělení, zjemění, společné
zjemění. Horní a dolní součet příslušný k dělení, Lemma 6.1 a 6.2, důsledek 6.3.
Horní a dolní integrál, integrovatelnost
ohraničené funkce na obdélníku. Věta 6.4 (součet a skalární násobek), Věta 6.5 (aditivita)
a Věta 6.6 (kritérium integrovatelnosti).
V textu přibližně po stranu 48.
24. přednáška 12. prosince 2023.
Lebesgueova věta. Lemma 1-6, Příklady, Věta 6.9.
Důkazy.
V textu přibližně po stranu 48.
25. přednáška 18. prosince 2023.
Jordanovsky měřitelná množina, integrál přes Jordanovsky měřitelnou množinu,
Lemma 6.13, 6.14, Věta 6.15 (integrál přes sjednocení). Fubiniho věta 6.10, důkaz.
Důsledek 6.11,6.12 Fubini pro R2.
26. přednáška 19. prosince 2023.
Lemma 6.16. (Aproximace Jordanovsky měřitelné množiny), Substituce v n-rozměrném integrálu
Věta 6.17. Příklad.