Přednáší Michal Málek, email: Michal.Malek@math.slu.cz, R1 Na Rybníčku 1, středa 9:45-12:10.
Cvičení k přednášce:
Veronika Rýžová , R1 Na Rybníčku 1, pondělí 14:45–16:20 a čtvrtek 13:55–15:30.
Michaela Záškolná, R2 Na Rybníčku 1, pondělí 14:45–16:20 a čtvrtek 13:55–15:30.
Zpět na stránku mojí výuky., nebo na stránku letního semestru.
Aktuální oznámení:
Termíny zkoušek: po. 8.1. 2024, st. 17.1.2024, po. 29.1.2024, st. 14.2.2024 a čt. 8.2.2024.
Zkušební otázky Matematická analýza I
Průběh zkoušky:
1) Písemná část
2) Ústní část: 2 otázky ze seznamu; 15 min na přípravu (povoleny materiály z přednášky); ústní pohovor.
Učební texty: Budu se držet textu
Co jsme probrali:
1. přednáška 27. září 2023.
Úvod. Základy naivní teorie množin, množina, prvek,
sjednocení a průnik množin, inkluze. Základní tvrzení o vlastnostech sjednocení a průniku množin.
Uspořádaná dvojice, kartézský součin množin, základní vlastnosti kartézského součinu (věta 1.2)
V textu přibližně po stranu 7.
2. přednáška 4. října 2023.
Systém množin, sjednocení a průnik systému množin, příklady.
Definice zobrazení množin, skládání zobrazení, asociativita skládání zobrazení (věta 1.3).
Injektivní, surjektivní, bijektivní zobrazení, inverze zobrazení.
Příklady. Věty 1.4 a 1.6. Obraz a vzor množiny při zobrazení.
V textu přibližně po stranu 12.
3. přednáška 11. října 2023.
Zopakování pojmu zobrazení.
Relace, reflexivní, symetrická, tranzitivní relace; relace ekvivalence, rozklad definovaný
ekvivalencí, příklady. Antisymetrická relace, uspořádání, maximum, minimum, supremum a infimum
množiny.
Začali jsme téma 2. Reálná čísla. Binární operace, komutativní, asociativní operace, příklady.
Neutrální prvek vzhledem k operaci, inverzní prvek věty 2.1, 2.2 o jednoznačnosti.
V textu přibližně po stranu 20.
4. přednáška 18. října 2023.
Číselné pole, základní vlastnosti věta 2.3. Příklady číselných polí.
Uspořádání kompatibilní, úplné, věta 2.4, spojité uspořádání.
Reálná čísla, shora (zdola) ohraničená množina, horní (dolní) závora. Věta 2.5 o supremu
(2.6 o infimu). Věta 2.7 kritérium suprema.
Pomocné tvrzení 2.9. Definice přirozených čísel. Věta 2.10 základní vlastnosti přirozených
čísel.
V textu přibližně po stranu 24.
5. přednáška 25. října 2023.
Definoval jsem pojmy n-prvková množina, konečná, nekonečná množina, uspořádaná
n-tice, kartézský součin množin, kartézská mocnina a i-tá kartézská projekce.
Posloupnost prvků množiny. Dále jsme prošli odstavec 2.5, kde jsme definovali celá a racionální
čísla. Věta 2.11 a věta 2.12 (o hustotě racionálních čísel) s důkazy. Odstavec 2.6. Funkce
reálné proměnné, definice reálné funkce. Definice pojmů shora, zdola ohraničená funkce na
množině. Maximum, minimum, supremum a infimum funkce na množině, extrémy. Funkce rostoucí
klesající, nerostoucí, neklesající. Příklady.
V textu přibližně po stranu 26.
6. přednáška 1. listopadu 2023.
Periodická funkce. Funkce konvexní a konkávní.
Afinní funkce, věta 2.13.
Součet a součin funkcí. Libovolná mocnina xn čísla
a mocninné funkce. Věta 2.15 (o vlastnostech mocninných funkcí).
Absolutní hodnota, celá část, Dirichletova a Riemannova funkce.
Začali jsme kapitolu 3. Základy topologie. Jen opravdu nejnutnější věci,
topologie, otevřená množina, okolí bodu, vnitřek, vnějšek, hranice množiny. Příklady.
V textu přibližně po stranu 38.
7. přednáška 8. listopadu 2023.
Souvislost, nesouvislost, pokrytí, kompaktní množina. Příklady.
Věta 3.3. (uzavřená podmnožina kompaktní je kompaktní). Spojitost, Věta 3.4 (kritérium spojitosti),
Příklady spojitých a nespojitých funkcí. Věty 3.6 a 3.7 (obraz souvislých a kompaktních množin)
Začali jsme kapitolu 4. Topologické vlastnosti reálných čísel. Přirozená topologie na R,
okolí bodu, souvislá množina. Věty 4.2. a 4.3. interval a souvislost na R.
Důsledek 4.4 (Bolzanova věta),
V textu přibližně po stranu 42.
8. přednáška 15. listopadu 2023.
Důsledek 4.5 (Darbouxova vlastnost).
Kompaktní množina, příklady. Poznámky o maximu a minimu kompaktních množin.
Lemma 4.6. (Heine-Borelova věta). Věta 4.7. souvislost ohraničenosti a uzavřenosti
s kompaktností. Důsledek 4.8, 4.9 (Weierstrassova věta).
Spojitost zprava a zleva. Věta 4.10. Věta 4.11, Důsledek 4.12 (ε-δ kritérium spojitosti).
Příklady.
Věta 4.14 (o spojitosti součtu, součinu a podílu spojitých funkcí), spojitost libovolné
mocniny – důsledek 4.15.
Stejnoměrná spojitost, definice příklady. Věta 4.22. Věta 4.23 (Heine-Cantorova).
V textu přibližně po stranu 45.
9. přednáška 22. listopadu 2023.
Definice limity reálné funkce. Hromadný bod definičního oboru. Věta 4.25 (definice limity pomocí
okolí), Důsledek 4.26 (ε-δ kritérium limity). Věta 4.27 (jednoznačnost limity). Limita
složeného zobrazení Věta 4.28. Rozšířená množina reálných čísel,
Zobecněná věta o supremu a infimu Věta 4.29.
Limita monotonní funkce věta 4.31 a věta 3.32 (o limitách zleva a zprava).
Příklady. Věta 4.33 (o třech limitách), příklady. Věty o počítání s limitami věta 4.34, 4.35.
V textu přibližně po stranu 49.
10. přednáška 29. listopadu 2023.
Začali jsme novou kapitolu Posloupnosti. Definice posloupnosti, příklady. Limita posloupnosti
věta 5.1. Definice hromadné hodnoty, příklady. Věta 5.3 (o hromadných hodnotách a limitě). Konvergentní,
divergentní a oscilující posloupnost. Limes superior, limes inferior, vybraná podposloupnost příklady.
Věta 5.5 (o limitě vybrané podposloupnosti).
Cauchyovská posloupnost, příklady. Věta 5.6 (konvergence cauchyovské posloupnosti).
V textu přibližně po stranu 58.
11. přednáška 6. prosince 2023.
Začali jsme nové téma Derivace. Motivační příklad – tečna ke grafu. Definice derivace.
Derivace základních funkcí. Věta 7.2. (souvislost derivace a spojitosti). Základní vlastnosti
derivace, Věta 7.3 (derivace součtu a součinu), příklady derivace složitějších funkcí.
Věta 7.6. (o derivaci složené funkce), příklady.
V textu přibližně po stranu 90.
12. přednáška 13. prosince 2023.
Věta (o derivaci inverzní funkce), příklady. Definice diferenciálu funkce, věta 7.10 (vztah derivace
a diferenciálu funkce). Zopakování diferenciálu souvislost s derivací. Derivace vyššího řádu, příklady.
Extrémy funkce, definice a příklady. Lokální maxima/minima funkce. Věta 7.11
(kladná derivace - rostoucí funkce), Důsledek 7.12 (nutná podmínka lokálního extrému),
příklady. Věta 7.14 (Rolleova), Věta 7.14 (Lagrangeova o střední hodnotě).
Věta 7.16 (Cauchyho o střední hodnotě). Důsledek 7.15. Kritérium lokálního extrému
V textu přibližně po stranu 95.
13. přednáška 20. prosince 2023.
Věta 7.18. Konvexní a konkávní funkce,
souvislost s derivací Věta 7.19. Dokončení lokálních extrémů funkce Věta 7.20, Důsledek 7.21.
L'Hospitalovo pravidlo Věty 7.22 a 7.23. Příklad.
Taylorův polynom věta 7.24. Příklad.
V textu přibližně po stranu 99.