Přednáší Michal Málek, email: Michal.Malek@math.slu.cz, R1 Na Rybníčku 1, čtvrtek 9:45-12:10.
Cvičení k přednášce:
Veronika Rýžová , R1 Na Rybníčku 1, úterý 14:45–16:20 a R2 Na Rybníčku 1, čtvrtek 13:55–15:30.
Zpět na stránku mojí výuky, nebo na stránku zimního semestru.
Aktuální oznámení:
Přednáška 18. dubna 2024 odpadá (případně bude nahrazena na konci semestru).
Zkušební otázky Matematická analýza II
Průběh zkoušky:
1) Písemná část
2) Ústní část: 2 otázky ze seznamu; 15 min na přípravu (povoleny materiály z přednášky); ústní pohovor.
Učební texty: Budu se držet textu
Co jsme probrali:
1. přednáška 22. února 2024. 5.3 Posloupnosti funkcí.
Zopakoval jsem pojmy kolem posloupností reálných čísel (hromadná hodnota, limita, konvergence).
Zavedl jsem pojem posloupnosti reálných funkcí. Definoval jsem pojem bodová a stejnoměrná konvergence,
obor konvergence, příklady. Ilustroval jsem rozdíl mezi bodovou a stejnoměrnou konvergencí.
Věta 5.7. (o majorantě), Věta 5.9. (spojitost stejnoměrné limity), Důsledek 5.10 (o záměně limit).
Začali jsme kapitolu nekonečné řady. Definovali jsme nekonečnou řadu danou posloupností
reálných čísel, posloupnost částečných součtů, konvergence, divergence, oscilace řada.
Příklady: Geometrická řada, Harmonická řada, Grandiho řada, jejich konvergence.
Věta 5.11 (Cauchy-Bolzanovo kritérium konvegence), důsledek 5.12 (Nutná podmínka konvegence).
V textu přibližně po stranu 61
3. přednáška 7. března 2024.
Alternující řady, definice, Věta 5.24 (Leibnizovo kritérium), příklad.
Pokračovali jsme v řadách s nezápornými členy.
Absolutně konvergentní řady a neabsolutně konvergentní řady, příklady.
Věta (o přerovnání absolutně konvergentní řady). Neabsolutně konvergentní řady a Lemma 5.28,5.29. Věta 5.30
(Riemannova přerovnávací).
6. Nekonečné řady funkcí.
Násobení číselných řad - (obyčejný) součin řad.
Věta 6.1. a Věta 6.2 o součinu řad. Příklady.
V textu přibližně po stranu 74.
4. přednáška 14. března 2024.
Nekonečné řady funkcí. Bodová a stejnoměrná konvergence, obor konvergence. Příklady.
Věta 6.8. (o konvergentní majorantě). Příklad. Věta 6.9. (o spojitosti součtu řady funkcí), Důsledek 6.10.
Mocninné řady. Definice, základní pojmy, střed, koeficienty. Věta 6.11 (o intervalu
konvergence mocninné řady). Příklady. Věta 6.12 (o stejnoměrné konvergenci mocninné
řady). Důsledek 6.13 (o spojitosti mocninné řady). Exponenciální funkce.
V textu přibližně po stranu 77.
5. přednáška 21. března 2024.
Základní funkce definované jako součet řady funkcí a jejich inverze:
Exponenciální funkce, logaritmus, sinus, arc sin, cos,... Jejich vlastnosti
Věty 6.14–6.20.
Taylorova řada - motivace, zopakování pojmu Taylorův polynom, Věta 7.26. (Taylorova)
V novém textu přibližně po stranu 81.
6. přednáška 28. března 2024.
8. Integrální počet v R.
Motivační příklad k Riemannovu integrálu. Pojmy: podgraf, dělení intervalu, integrální součty,
zjemnění dělění. Lemma 8.0, 8.1, 8.2. Horní a dolní integrál, (Riemannův) integrál.
Příklad integrovatelná a neintegrovatelné funkce (Dirichletova funkce).
Lemma 8.3, Věta 8.4 a Důsledek 8.5 (Kritérium integrovatelnosti).
Příklad výpočtu integrálu z definice (identita na [0,1]).
V novém textu přibližně po stranu 112.
7. přednáška 4. dubna 2024.
Příklad integrovatelná funkce nespojitá v konečně mnoha bodech.
Věta 8.8 (spojitá funkce je integrovatelná), Věta 8.9 (integrál součtu a skalárního násobku).
Doplnění důsledku věty 8.9 (Množina Riemannovsky integrovatelných funkcí je vektorový prostor).
Věta 8.10 (o integrálu na sjednocení intervalů).
Definice množiny Lebesgueovy míry nula. Příklady. Cantorova množina (nespočetná množina míry nula).
V novém textu přibližně po stranu 114.
8. přednáška 11. dubna 2024.
Definice množiny Lebesgueovy míry nula. Příklady. Definice oscilace funkce, příklady.
Pomocná tvrzení: Lemma 8.13, 8.14, 8.15, 8.16, 8.17, 8.18.
Věta 8.19 (Lebesgueova – kritérium integrovatelnosti).
V novém textu přibližně po stranu 117.
9. přednáška 18. dubna 2024.
Neproběhla.
10. přednáška 25. dubna 2024.
Dvě věty o střední hodnotě integrálu.
Definoval jsem Primitivní funkci, neurčitý integrál jako množinu primitivních funkcí (lišící
se na intervalu o konstantu), Věta 8.20. Věta 8.21 (integrál jako funkce horní meze).
Důsledek 8.22 (existence primitivní funkce ke spojité funkci). Věta 8.24 (integrování Per Partes).
Příklady. Věta 8.25 (substituční metoda I. druhu), příklady. Věta 8.26 (substituční metoda II. druhu),
příklady.
V novém textu přibližně po stranu 120.
11. přednáška 2. května 2024.
Souvislost určitého integrálu a primitivní funkce – Věta 8.27 (Newtonova-Leibnizova formule).
Příklady. Důsledky 8.28 (Newtonova-Leibnizova formule pro Per Partes), 8.29 (Newtonova-Leibnizova
formule pro substituci).
Neurčitý integrál. Rozšířil jsem Riemannův integrál nejprve na polootevřený interval [a,b), případně
(a,b], i pro neohraničenou funkci. Dále jsem připustil i případ nevlastních intervalů.
Poslední rozšíření se týkalo intervalu (a,b), kdy může být funkce neomezená na okolí
koncových bodů Lemma 8.30 (nezávislost na dělícím bodě). Propočítali jsme spoustu příkladů.
Věta 8.31 (Integrální kritérium). Příklady.
V novém textu přibližně po stranu 124.
12. přednáška 9. května 2024.
Rozklad na parciální zlomky. Příklad.
Aplikace určitého integrálu. V textu není. Doporučuji:
Hošková, Kuben, Račková-Integrální počet funkce jedné proměnné,
stáhnout, strany 135–160.
V novém textu přibližně po stranu 135.
13. přednáška 16. května 2024. Opakování vybraných částí.