Přednáší Michal Málek, email: Michal.Malek@math.slu.cz, R1 Na Rybníčku 1, středa 9:45-12:10.
Cvičení k přednášce:
Rostislav Klech , R1 Na Rybníčku 1, úterý 15:35–17:10 a čtvrtek 13:05–14:40.
Zpět na stránku mojí výuky., nebo na stránku letního semestru.
Aktuální oznámení:
Zkušební otázky Matematická analýza I
Průběh zkoušky:
1) Písemná část
2) Ústní část: 2 otázky ze seznamu; 15 min na přípravu (povoleny materiály z přednášky); ústní pohovor.
Učební texty: Budu se držet textu
Co jsme probrali:
1. přednáška 24. září 2025.
Úvod. Základy naivní teorie množin, množina, prvek,
sjednocení a průnik množin, inkluze. Základní tvrzení o vlastnostech sjednocení a průniku množin.
Uspořádaná dvojice, kartézský součin množin, základní vlastnosti kartézského součinu (věta 1.2)
Systém množin, sjednocení a průnik systému množin, příklady.
V textu přibližně po stranu 7.
2. přednáška 1. října 2025.
Definice zobrazení množin, skládání zobrazení, asociativita skládání zobrazení (věta 1.3).
Injektivní, surjektivní, bijektivní zobrazení, inverze zobrazení.
Příklady. Věty 1.4 a 1.6. Obraz a vzor množiny při zobrazení.
Relace, reflexivní, symetrická, tranzitivní relace.
V textu přibližně po stranu 12.
3. přednáška 8. října 2025.
Zopakování relace, reflexivní, symetrická, tranzitivní relace; relace ekvivalence, rozklad definovaný
ekvivalencí, příklady. Antisymetrická relace, uspořádání, maximum, minimum, supremum a infimum
množiny.
Začali jsme téma 2. Reálná čísla. Binární operace, komutativní, asociativní operace, příklady.
Neutrální prvek vzhledem k operaci, inverzní prvek věty 2.1, 2.2 o jednoznačnosti.
Číselné pole, základní vlastnosti věta 2.3. Příklady číselných polí.
V textu přibližně po stranu 21.
4. přednáška 15. října 2025.
Uspořádání kompatibilní, úplné, věta 2.4, spojité uspořádání.
Reálná čísla, shora (zdola) ohraničená množina, horní (dolní) závora. Věta 2.5 o supremu
(2.6 o infimu). Věta 2.7 kritérium suprema.
Pomocné tvrzení 2.9. Definice přirozených čísel. Věta 2.10 základní vlastnosti přirozených
čísel.Definoval jsem pojmy n-prvková množina, konečná, nekonečná množina, uspořádaná
n-tice, kartézský součin množin, kartézská mocnina a i-tá kartézská projekce.
Definovali jsem celá a racionální čísla.
V textu přibližně po stranu 25.
5. přednáška 22. října 2025.
Posloupnost prvků množiny.
Věta 2.11 a věta 2.12 (o hustotě racionálních čísel)
s důkazy. Odstavec 2.6. Funkce reálné proměnné, definice reálné funkce. Definice pojmů shora,
zdola ohraničená funkce na množině. Maximum, minimum, supremum a infimum funkce na množině, extrémy.
Funkce rostoucí klesající, nerostoucí, neklesající. Příklady.
Periodická funkce. Funkce konvexní a konkávní.
Afinní funkce, věta 2.13.
Součet a součin funkcí. Libovolná mocnina xn čísla
a mocninné funkce. Věta 2.15 (o vlastnostech mocninných funkcí).
Absolutní hodnota, celá část, Dirichletova a Riemannova funkce.
V textu přibližně po stranu 29.
6. přednáška 29. října 2025.
Začal jsem souběžně probírat kapitoly 3 a 4. Topologii budu uvažovat pouze na R.
Definice Přirozená topologie na R, otevřené a uzavřené množiny, příklady.
Okolí bodu. Vnitřek, vnějšek hranice a uzávěr množiny. Spousta příkladů.
Spojitost definice pomocí okolí, Věta 4.11. (kritérium spojitosti), důsledek 4.12.
(ε-δ kritérium spojitosti), příklady spojitých a nespojitých funkcí.
Věta 4.14 (o spojitosti součtu, součinu a podílu spojitých funkcí), spojitost libovolné
mocniny – důsledek 4.15.
V textu strany 37,38,41,43.
7. přednáška 5. listopadu 2025.
Zopakoval jsem spojitost.
Spojitost zprava a zleva. Věta 4.10.
Souvislost, nesouvislost, Věty 4.2. a 4.3. interval a souvislost na R.
Důsledek 4.4 (Bolzanova věta), Důsledek 4.5 (Darbouxova vlastnost).
Pokrytí, kompaktnost příklady. Poznámky o maximu a minimu kompaktních množin.
Lemma 4.6. (Heine-Borelova věta). Věta 4.7. souvislost ohraničenosti a uzavřenosti
s kompaktností. Důsledek 4.8, 4.9 (Weierstrassova věta).
V textu přibližně po stranu 42.
8. přednáška 12. listopadu 2025.
Stejnoměrná spojitost, definice příklady. Věta 4.22. Věta 4.23 (Heine-Cantorova).
Definice limity reálné funkce. Hromadný bod definičního oboru. Věta 4.25 (definice limity pomocí
okolí), Důsledek 4.26 (ε-δ kritérium limity). Věta 4.27 (jednoznačnost limity). Limita
složeného zobrazení Věta 4.28. Rozšířená množina reálných čísel,
Zobecněná věta o supremu a infimu Věta 4.29.
Limita monotonní funkce věta 4.31 a věta 3.32 (o limitách zleva a zprava).
Příklady. Věta 4.33 (o třech limitách), příklady.
Věty 4.34,35 (o počítání s limitami). Příklady.
V textu přibližně po stranu 49.
9. přednáška 19. listopadu 2025.
Začali jsme novou kapitolu Posloupnosti. Definice posloupnosti, příklady. Limita posloupnosti
Věta 5.1. Definice hromadné hodnoty, příklady. Věta 5.3 (o hromadných hodnotách a limitě). Konvergentní,
divergentní a oscilující posloupnost. Limes superior, limes inferior, vybraná podposloupnost příklady.
Věta 5.5 (o limitě vybrané podposloupnosti).
Cauchyovská posloupnost, příklady. Věta 5.6 (konvergence cauchyovské posloupnosti).
V textu přibližně po stranu 58.
10. přednáška 26. listopadu 2025.
Začali jsme nové téma Derivace. Motivační příklad – tečna ke grafu. Definice derivace.
Derivace základních funkcí. Věta 7.2. (souvislost derivace a spojitosti). Základní vlastnosti
derivace, Věta 7.3 (derivace součtu a součinu), příklady derivace složitějších funkcí.
Věta 7.6. (o derivaci složené funkce), příklady.
V textu přibližně po stranu 90.
11. přednáška 3. prosince 2025.
Věta (o derivaci inverzní funkce), příklady. Definice diferenciálu funkce, věta 7.10 (vztah derivace
a diferenciálu funkce). Derivace vyššího řádu, příklady.
Extrémy funkce, definice a příklady. Lokální maxima/minima funkce. Věta 7.11
(kladná derivace - rostoucí funkce), Důsledek 7.12 (nutná podmínka lokálního extrému),
příklady. Věta 7.14 (Rolleova), Věta 7.14 (Lagrangeova o střední hodnotě).
Důsledek 7.15. Věta 7.18. Kritérium lokálního extrému
V textu přibližně po stranu 95.
12. přednáška 10. prosince 2025.
Věta 7.19. Konvexní a konkávní funkce,
souvislost s derivací Věta 7.19. Dokončení lokálních extrémů funkce Věta 7.20, Důsledek 7.21.
L'Hospitalovo pravidlo Věty 7.22 a 7.23. Příklad.
Taylorův polynom věta 7.24. Příklad.
V textu přibližně po stranu 99.
13. přednáška 17. prosince 2025.
Opakování na přání.