Přednáší Michal Málek, email: Michal.Malek@math.slu.cz, R1 Na Rybníčku 1, středa 9:45-12:10.
Cvičení k přednášce:
Veronika Rýžová , R1 Na Rybníčku 1, úterý 13:05–14:40 a čtvrtek 8:05–9:40.
Zpět na stránku mojí výuky., nebo na stránku letního semestru.
Aktuální oznámení:
Přednáška ve st. 23. listopadu, 9:45 proběhne mimořádně v učebně B1, Bezručovo náměstí 13.
Zkušební otázky Matematická analýza I
Průběh zkoušky:
1) Písemná část
2) Ústní část: 2 otázky ze seznamu; 15 min na přípravu (povoleny materiály z přednášky); ústní pohovor.
Učební texty: Budu se držet textu
Co jsme probrali:
1. přednáška 21. září 2022.
Úvod. Základy naivní teorie množin, množina, prvek,
sjednocení a průnik množin, inkluze. Základní tvrzení o vlastnostech sjednocení a průniku množin.
Uspořádaná dvojice, kartézský součin množin, základní vlastnosti kartézského součinu (věta 1.2)
V textu přibližně po stranu 7.
2. přednáška 28. září 2022.
Neproběhla – státní svátek.
3. přednáška 5. října 2022.
Systém množin, sjednocení a průnik systému množin, příklady.
Definice zobrazení množin, skládání zobrazení, asociativita skládání zobrazení (věta 1.3).
Injektivní, surjektivní, bijektivní zobrazení, inverze zobrazení.
Příklady. Věty 1.4 a 1.6. Obraz a vzor množiny při zobrazení.
V textu přibližně po stranu 12.
4. přednáška 12. října 2022.
Zopakování pojmu zobrazení. Obraz a vzor množiny při
zobrazení, injektivní surjektivní, bijektivní zobrazení, příklady. Inverzní zobrazení.
Relace, reflexivní, symetrická, tranzitivní relace; relace ekvivalence, rozklad definovaný
ekvivalencí, příklady. Antisymetrická relace, uspořádání, maximum, minimum, supremum a infimum
množiny.
Začali jsme téma 2. Reálná čísla. Binární operace, komutativní, asociativní operace, příklady.
Neutrální prvek vzhledem k operaci, inverzní prvek věty 2.1, 2.2 o jednoznačnosti. Číselné pole
definice.
V textu přibližně po stranu 20.
5. přednáška 19. října 2022.
Číselné pole, základní vlastnosti věta 2.3. Příklady číselných polí.
Uspořádání kompatibilní, úplné, věta 2.4, spojité uspořádání.
Reálná čísla, shora (zdola) ohraničená množina, horní (dolní) závora. Věta 2.5 o supremu
(2.6 o infimu). Věta 2.7 kritérium suprema.
Pomocné tvrzení 2.9. Definice přirozených čísel. Věta 2.10 základní vlastnosti přirozených
čísel. Matematická indukce, příklady.
V textu přibližně po stranu 24.
6. přednáška 26. října 2022.
Definoval jsem pojmy n-prvková množina, konečná, nekonečná množina, uspořádaná
n-tice, kartézský součin množin, kartézská mocnina a i-tá kartézská projekce.
Posloupnost prvků množiny. Dále jsme prošli odstavec 2.5, kde jsme definovali celá a racionální
čísla. Věta 2.11 a věta 2.12 (o hustotě racionálních čísel) s důkazy. Odstavec 2.6. Funkce
reálné proměnné, definice reálné funkce. Definice pojmů shora, zdola ohraničená funkce na
množině. Maximum, minimum, supremum a infimum funkce na množině, extrémy. Funkce rostoucí
klesající, nerostoucí, neklesající. Příklady. Periodická funkce. Funkce konvexní a konkávní.
Afinní funkce, věta 2.13.
V textu přibližně po stranu 28.
7. přednáška 2. listopadu 2022.
Součet a součin funkcí. Libovolná mocnina xn čísla
a mocninné funkce. Věta 2.15 (o vlastnostech mocninných funkcí).
Absolutní hodnota, celá část, Dirichletova a Riemannova funkce.
Začali jsme kapitolu 3. Základy topologie. Jen opravdu nejnutnější věci,
topologie, otevřená množina, okolí bodu, vnitřek, vnějšek, hranice množiny. Příklady.
Spojitost zobrazení. Příklady spojitých a nespojitých funkcí.
V textu přibližně po stranu 38.
8. přednáška 9. listopadu 2022.
Začali jsme kapitolu 4. Topologické vlastnosti reálných čísel. Přirozená topologie na R,
okolí bodu, souvislá množina. Věty 4.2. a 4.3. interval a souvislost na R. Spojitost
reálné funkce, spojitost v bodě. Důsledek 4.4 (Bolzanova věta), Důsledek 4.5 (Darbouxova vlastnost).
Kompaktní množina, příklady. Poznámky o maximu a minimu kompaktních množin.
Lemma 4.6. (Heine-Borelova věta). Věta 4.7. souvislost ohraničenosti a uzavřenosti
s kompaktností. Důsledek 4.8, 4.9 (Weierstrassova věta).
Spojitost zprava a zleva. Věta 4.10. Věta 4.11, Důsledek 4.12 (ε-δ kritérium spojitosti).
Příklady.
V textu přibližně po stranu 43.
9. přednáška 16. listopadu 2022. Přednášela dr. Rýžová
10. přednáška 23. listopadu 2022.
Zobecněná věta o supremu a infimu 4.27.
Limita monotonní funkce věta 4.29 a věta 3.30 (o limitách zleva a zprava).
Příklady. Věta 4.31 (o třech limitách), příklady. Věty o počítání s limitami věta 4.32, 4.33.
Začali jsme novou kapitolu Posloupnosti. Definice posloupnosti, příklady. Limita posloupnosti
věta 5.1. Definice hromadné hodnoty, příklady. Věta 5.3 (o hromadných hodnotách a limitě). Konvergentní,
divergentní a oscilující posloupnost. Limes superior, limes inferior, vybraná podposloupnost příklady.
Věta 5.5 (o limitě vybrané podposloupnosti).
V textu přibližně po stranu 58.
11. přednáška 30. listopadu 2022.
Zopakování definice limity posloupnosti.
Cauchyovská posloupnost, příklady. Věta 5.6 (konvergence cauchyovské posloupnosti).
Začali jsme nové téma Derivace. Motivační příklad – tečna ke grafu. Definice derivace.
Derivace základních funkcí. Věta 7.2. (souvislost derivace a spojitosti). Základní vlastnosti
derivace, Věta 7.5 (derivace součtu a součinu), příklady derivace složitějších funkcí.
V textu přibližně po stranu 89.
12. přednáška 7. prosince 2022.
Věta 7.6. (o derivaci složené funkce), příklady. Věta (o derivaci
inverzní funkce) a další příklady. Definice diferenciálu funkce, věta 7.10 (vztah derivace
a diferenciálu funkce). Zopakování diferenciálu souvislost s derivací. Derivace vyššího řádu, příklady.
Extrémy funkce, definice a příklady. Lokální maxima/minima funkce. Věta 7.11
(kladná derivace - rostoucí funkce), Důsledek 7.12 (nutná podmínka lokálního extrému),
příklady. Věta 7.14 (Rolleova), Věta 7.14 (Lagrangeova o střední hodnotě).
Věta 7.16 (Cauchyho o střední hodnotě).
V textu přibližně po stranu 94.
13. přednáška 14. prosince 2022.
Důsledek 7.15. Kritérium lokálního extrému Věta 7.18. Konvexní a konkávní funkce,
souvislost s derivací Věta 7.19. Dokončení lokálních extrémů funkce Věta 7.20, Důsledek 7.21.
L'Hospitalovo pravidlo Věty 7.22 a 7.23. Příklad.
Taylorův polynom věta 7.24. Příklad.
V textu přibližně po stranu 99.