Přednáší Michal Málek, email: Michal.Malek@math.slu.cz, R1 Na Rybníčku 1, středa 9:45-12:10.
Cvičení k přednášce:
Veronika Rýžová , R1 Na Rybníčku 1, úterý 14:45–16:20 a R2 Na Rybníčku 1, čtvrtek 13:55–15:30.
Zpět na stránku mojí výuky, nebo na stránku zimního semestru.
Aktuální oznámení:
Zatím nic.
Zkušební otázky Matematická analýza II
Průběh zkoušky:
1) Písemná část
2) Ústní část: 2 otázky ze seznamu; 15 min na přípravu (povoleny materiály z přednášky); ústní pohovor.
Učební texty: Budu se držet textu
Co jsme probrali:
1. přednáška 22. února 2023. 5.3 Posloupnosti funkcí.
Zopakoval jsem pojmy kolem posloupností reálných čísel (hromadná hodnota, limita, konvergence).
Zavedl jsem pojem posloupnosti reálných funkcí. Definoval jsem pojem bodová a stejnoměrná konvergence,
obor konvergence, příklady. Ilustroval jsem rozdíl mezi bodovou a stejnoměrnou konvergencí.
Věta 5.7. (o majorantě), Věta 5.9. (spojitost stejnoměrné limity), Důsledek 5.10 (o záměně limit).
Začali jsme kapitolu nekonečné řady. Definovali jsme nekonečnou řadu danou posloupností
reálných čísel, posloupnost částečných součtů, konvergence, divergence, oscilace řada.
V textu přibližně po stranu 61
3. přednáška 8. března 2023.
Pokračovali jsme v řadách s nezápornými členy.
Příklady. Věta 5.22 (Cauchyho odmocninové kritérium) a věta 5.23 (limitní odmocninové kritérium).
Příklady. Alternující řady, definice, Věta 5.24 (Leibnizovo kritérium), příklad.
Absolutně konvergentní řady a neabsolutně konvergentní řady, příklady.
Věta (o přerovnání absolutně konvergentní řady). Neabsolutně konvergentní řady a Lemma 5.28,5.29. Věta 5.30
(Riemannova přerovnávací).
6. Nekonečné řady funkcí.
Násobení číselných řad - (obyčejný) součin řad.
V textu přibližně po stranu 73.
4. přednáška 15. března 2023.
Věta 6.1. a Věta 6.2 o součinu řad. Příklady.
Nekonečné řady funkcí. Bodová a stejnoměrná konvergence, obor konvergence. Příklady.
Věta 6.8. (o konvergentní majorantě). Příklad. Věta 6.9. (o spojitosti součtu řady funkcí), Důsledek 6.10.
Mocninné řady. Definice, základní pojmy, střed, koeficienty. Věta 6.11 (o intervalu
konvergence mocninné řady). Příklady. Věta 6.12 (o stejnoměrné konvergenci mocninné
řady).
V textu přibližně po stranu 77.
5. přednáška 22. března 2023.
Důsledek 6.13 (o spojitosti mocninné řady).
Nový příklad na Cauchyho součin řad a součet řady funkcí.
Základní funkce definované jako součet řady funkcí a jejich inverze:
Exponenciální funkce, logaritmus, sinus, arc sin, cos,... Jejich vlastnosti
Věty 6.14–6.20.
Taylorova řada - motivace, zopakování pojmu Taylorův polynom, Věta 7.26. (Taylorova)
V novém textu přibližně po stranu 81.
6. přednáška 29. března 2023.
8. Integrální počet v R.
Motivační příklad k Riemannovu integrálu. Pojmy: podgraf, dělení intervalu, integrální součty,
zjemnění dělění. Lemma 8.0, 8.1, 8.2. Horní a dolní integrál, (Riemannův) integrál.
Příklad integrovatelná a neintegrovatelné funkce (Dirichletova funkce).
Lemma 8.3, Věta 8.4 a Důsledek 8.5 (Kritérium integrovatelnosti).
Příklad výpočtu integrálu z definice (identita na [0,1]).
V novém textu přibližně po stranu 112.
7. přednáška 5. dubna 2023.
Příklad integrovatelná funkce nespojitá v konečně mnoha bodech.
Věta 8.8 (spojitá funkce je integrovatelná), Věta 8.9 (integrál součtu a skalárního násobku).
Doplnění důsledku věty 8.9 (Množina Riemannovsky integrovatelných funkcí je vektorový prostor).
Věta 8.10 (o integrálu na sjednocení intervalů).
Definice množiny Lebesgueovy míry nula. Příklady.
V novém textu přibližně po stranu 114.
8. přednáška 12. dubna 2023.
Definice množiny Lebesgueovy míry nula. Příklady. Definice oscilace funkce, příklady.
Pomocná tvrzení: Lemma 8.13, 8.14, 8.15, 8.16, 8.17, 8.18.
Věta 8.19 (Lebesgueova – kritérium integrovatelnosti).
V novém textu přibližně po stranu 117.
9. přednáška 19. dubna 2023.
Dvě věty o střední hodnotě integrálu.
Definoval jsem Primitivní funkci, neurčitý integrál jako množinu primitivních funkcí (lišící
se na intervalu o konstantu), Věta 8.20. Věta 8.21 (integrál jako funkce horní meze).
Důsledek 8.22 (existence primitivní funkce ke spojité funkci). Věta 8.24 (integrování Per Partes).
Příklady. Věta 8.25 (substituční metoda I. druhu), příklady. Věta 8.26 (substituční metoda II. druhu),
příklady.
V novém textu přibližně po stranu 120.
10. přednáška 26. dubna 2023.
Souvislost určitého integrálu a primitivní funkce – Věta 8.27 (Newtonova-Leibnizova formule).
Příklady. Důsledky 8.28 (Newtonova-Leibnizova formule pro Per Partes), 8.29 (Newtonova-Leibnizova
formule pro substituci).
Neurčitý integrál. Rozšířil jsem Riemannův integrál nejprve na polootevřený interval [a,b), případně
(a,b], i pro neohraničenou funkci. Dále jsem připustil i případ nevlastních intervalů.
Poslední rozšíření se týkalo intervalu (a,b), kdy může být funkce neomezená na okolí
koncových bodů Lemma 8.30 (nezávislost na dělícím bodě). Propočítali jsme spoustu příkladů.
Věta 8.31 (Integrální kritérium). Příklady.
V novém textu přibližně po stranu 124.
11. přednáška 3. května 2023.
Rozklad na parciální zlomky. Příklad.
Aplikace určitého integrálu. V textu není. Doporučuji:
Hošková, Kuben, Račková-Integrální počet funkce jedné proměnné,
stáhnout, strany 135–160.
V novém textu přibližně po stranu 135.
12. přednáška 10. května 2023. Opakování vybraných částí.
13. přednáška 17. května 2023. Opakování vybraných částí.