Přednáší Michal Málek, email: Michal.Malek@math.slu.cz, R1 Na Rybníčku 1, pondělí 9:45-11:20.
Cvičení k přednášce:
Jiřina Jahnová , R2 Na Rybníčku 1, úterý 8:05–9:40.
Zpět na stránku mojí výuky.
Aktuální oznámení:
Přednáška 27. října 2025 nebude.
Učební texty: Budu se držet textu
Co jsme probrali:
1. přednáška 22. září 2025.
n-ární operace na množině (unární, binární), nulární operace. Algebraická struktura
na množině, (univerzální) algebra. Signatura algebry, arita, nosič algebry. Příklady.
Homomorfismy algeber. Věta (o homomorfismech), důsledek (o ekvivalenci).
Příklady.
2. přednáška 29. září 2025.
Množina uzavřená na operace v algebře, podalgebra algebry.
Věta (o průniku podalgeber), věta (o sjednocení rostoucího spočetného systému algeber).
Podalgebra generovaná množinou. Věta (vlastnosti generátoru). Spojení algeber,
věta (o spojení systému algeber). Algebra generovaná podmnožinou, minimální generátor algebry.
Začal jsem nové téma: Kongruence. Ekvivalence slučitelná s operacemi v algebře, kongruence.
Rozklad množiny podle ekvivalence – třída, reprezentant, projekce.
3. přednáška 6. října 2025.
Zopakování kongruence. Faktorová množina. Věta o operacích na faktorové množině.
Faktorová algebra. Příklady.
Kapitola 5. Věty o homomorfismech. Věta o vložení a faktorové projekci.
Věta o obrazu, kongruenci dané homomorfismem a rozkladu homomorfismu.
4. přednáška 13. října 2025.
6. Součiny Algeber.
5. přednáška 20. října 2025.
Součiny algeber - dokončení.
Začal jsem kapitolu 7. Grupy. Definice, příklady. Tvrzení o podalgebrách grupy,
Tvrzení o komutativnosti faktorových grup a součinu grup.
6. přednáška 3. listopadu 2025.
Dokončení grup. Tvrzení o krácení, řešení rovnic inverze k inverzi a inverze k součinu.
Věta o postačující podmínce homomorfismu grup. Příklady homomorfismů grup.
Věta o postačující podmínce pogrupy.
Začal jsem kapitolu 8. Faktorové grupy.
Zopakování kongruence. Definice normální podgrupy. Věta o normální pogrupě z kongruence
a kongruenci z normální pogrupy.
Věta o kompatibilitě předchozího.
7. přednáška 10. listopadu 2025.
Levý a pravý rozklad podle podgrupy. Věta (rozklad pro normální podgrupu).
Věta (o jádru homomorfismu jako normální podgrupě).
Akce grup na množině, levá a pravá akce grupy. Příklady. Věta (působení prvku
je bijekce). Efektivní akce. Věta (o efektivnosti akce).
8. přednáška 24. listopadu 2025.
Začal jsem kapitolu 10. Orbity a stabilizátory.
Orbita bodu při akci grupy. Tranzitivní akce grupy. Příklady Věta (o vlastnostech
orbit - rozklad).
Stabilizátor prvku. Věta (stabilizátor je podgrupa).
Začal jsem kapitolu 11. Burnsidova věta.
Věta (Burnsideova).
9. přednáška 1. prosince 2025.
Definice mocniny a věto o vlastnostech mocnin.
Věta (o uzávěru bodu a grupě mocnin). Definice cyklické grupy.
Příklady.
Věta (Charakterizace cyklických grup), Důsledek (komutativita).
Lagrangeova věta, Příklady. Věta (Zp pro prvočíselné p).
10. přednáška 8. prosince 2025.
Začal jsem kapitolu 13. Okruhy. Definice. Příklady. Pole.
Tvrzení o podalebgrách okruhu. Věta (Algebraické vlastnosti v okruhu).
Ideál. Věta (o souvislosti Ideálu a kongruence). Věta (Ideál v poli).
Věta (Násobení bez nuly je grupa). Obor integrity, věta (o krácení
a oboru integrity), věta (Zp jako obor ingrity).
11. přednáška 15. prosince 2025.
Moduly, věta o podmodulech, věta o kongruenci na modulech, příklady.
Volné moduly, věta o izomorfnosti volných modulů, věta o vyjádření
lineární kombinací. Příklady.