Přednáší Michal Málek, email: Michal.Malek@math.slu.cz, R1 Na Rybníčku 1, středa 9:45-12:10.
Cvičení k přednášce:
Pavel Holba , R1 Na Rybníčku 1, pondělí a úterý 14:45–16:20.
Aktuální oznámení:
Zkušební otázky Matematická analýza I
Průběh zkoušky:
1) Písemná část
2) Ústní část: 2 otázky ze seznamu; 15 min na přípravu (povoleny materiály z přednášky); ústní pohovor.
Učební texty: Budu se držet textu
Co jsme probrali:
1. přednáška 22. září 2021. Úvod. Základy naivní teorie množin, množina, prvek,
sjednocení a průnik množin, inkluze. Základní tvrzení o vlastnostech sjednocení a průniku množin.
Uspořádaná dvojice, kartézský součin množin, základní vlastnosti kartézského součinu (věta 1.2)
V textu přibližně po stranu 7.
2. přednáška 29. září 2021. Sjednocení a průnik systému množin, příklady.
Zopakování uspořádané dvojice, kartézský součin množin. Definice zobrazení
množin, skládání zobrazení, asociativita skládání zobrazení (věta 1.3). Injektivní, surjektivní,
bijektivní zobrazení, inverze zobrazení. Příklady. Věty 1.4 a 1.5. Obraz a vzor množiny při
zobrazení.
V textu přibližně po stranu 12.
3. přednáška 6. října 2021. Zopakování pojmu zobrazení. Obraz a vzor množiny při
zobrazení, injektivní surjektivní, bijektivní zobrazení, příklady. Inverzní zobrazení.
Relace, reflexivní, symetrická, tranzitivní relace; relace ekvivalence, rozklad definovaný
ekvivalencí, příklady. Antisymetrická relace, uspořádání, maximum, minimum, supremum a infimum
množiny.
Začali jsme téma 2. Reálná čísla. Binární operace, komutativní, asociativní operace, příklady.
Neutrální prvek vzhledem k operaci, inverzní prvek věty 2.1, 2.2 o jednoznačnosti. Číselné pole
definice a základní vlastnosti věta 2.3. Příklady číselných polí.
V textu přibližně po stranu 21.
4. přednáška 13. října 2021.
Zopakování pojmu pole, příklady polí. Uspořádání kompatibilní, úplné, spojité uspořádání.
Reálná čísla, shora (zdola) ohraničená množina, horní (dolní) závora. Věta 2.5 o supremu
(2.6 o infimu). Věta 2.7 kritérium suprema.
Pomocné tvrzení 2.9. Definice přirozených čísel. Věta 2.10 základní vlastnosti přirozených
čísel. Matematická indukce, příklady.
V textu přibližně po stranu 24.
5. přednáška 20. října 2021.
Definoval jsem pojmy n-prvková množina, konečná, nekonečná množina, uspořádaná
n-tice, kartézský součin množin, kartézská mocnina a i-tá kartézská projekce.
Posloupnost prvků množiny. Dále jsme prošli odstavec 2.5, kde jsme definovali celá a racionální
čísla. Věta 2.11 a věta 2.12 (o hustotě racionálních čísel) s důkazy. Odstavec 2.6. Funkce
reálné proměnné, definice reálné funkce. Definice pojmů shora, zdola ohraničená funkce na
množině. Maximum, minimum, supremum a infimum funkce na množině, extrémy. Funkce rostoucí
klesající, nerostoucí, neklesající. Příklady. Periodická funkce.
Afinní funkce, věta 2.13. Součet a součin funkcí.
V textu přibližně po stranu 28.
6. přednáška 27. října 2021.
Funkce konvexní a konkávní. Libovolná mocnina xn čísla
a mocninné funkce. Věta 2.15 (o vlastnostech mocninných funkcí).
Začali jsme kapitolu 3. Základy topologie. Jen opravdu nejnutnější věci,
topologie, otevřená množina, okolí bodu. Příklady.
Spojitost zobrazení. Příklady spojitých a nespojitých funkcí.
V textu přibližně po stranu 38.
7. přednáška 3. listopadu 2021.
Začali jsme kapitolu 4. Topologické vlastnosti reálných čísel. Přirozená topologie na R,
souvislá množina, okolí bodu. Věty 4.2. a 4.3. interval a souvislost na R. Spojitost
reálné funkce, spojitost v bodě. Důsledek 4.4 (Bolzanova věta), Důsledek 4.5 (Darbouxova vlastnost).
Kompaktní množina, příklady. Poznámky o maximu a minimu kompaktních množin.
Lemma 4.6. (Heine-Borelova věta). Věta 4.7. souvislost ohraničenosti a uzavřenosti
s kompaktností. Důsledek 4.8, 4.9 (Weierstrassova věta).
Spojitost zprava a zleva. Věta 4.10. Věta 4.11, Důsledek 4.12 (ε-δ kritérium spojitosti).
Příklady.
V textu přibližně po stranu 43.
8. přednáška 10. listopadu 2021.
Zopakování spojitosti a ε-δ kritérium spojitosti.
Věta 4.14 (o spojitosti součtu, součinu a podílu spojitých funkcí), spojitost libovolné
mocniny – důsledek 4.15.
Definice limity reálné funkce. Hromadný bod definičního oboru. Věta 4.23 (definice limity pomocí
okolí), Důsledek 4.24 (ε-δ kritérium limity). Věta 4.25 (jednoznačnost limity). Limita
složeného zobrazení. Rozšířená množina reálných čísel,
V textu přibližně po stranu 47.
9. přednáška 17. listopadu 2021.
Neproběhla – státní svátek.
10. přednáška 24. listopadu 2021.
Zobecněná věta o supremu a infimu 4.27.
Limita monotonní funkce věta 4.29 a věta 3.30 (o limitách zleva a zprava).
Příklady. Věta 4.31 (o třech limitách), příklady. Věty o počítání s limitami věta 4.32, 4.33.
Začali jsme novou kapitolu Posloupnosti. Definice posloupnosti, příklady. Limita posloupnosti
věta 5.1. Definice hromadné hodnoty, příklady. Věta 5.3 (o hromadných hodnotách a limitě). Konvergentní,
divergentní a oscilující posloupnost. Limes superior, limes inferior, vybraná podposloupnost příklady.
Věta 5.5 (o limitě vybrané podposloupnosti).
V textu přibližně po stranu 58.
11. přednáška 1. prosince 2021.
Zopakování definice hromadné hodnoty posloupnosti, limes superior, limes inferior.
Cauchyovská posloupnost, příklady. Věta 5.6 (konvergence cauchyovské posloupnosti).
Začali jsme nové téma Derivace. Motivační příklad – tečna ke grafu. Definice derivace.
Derivace základních funkcí. Věta 7.2. (souvislost derivace a spojitosti). Základní vlastnosti
derivace, Věta 7.5 (derivace součtu a součinu), příklady derivace složitějších funkcí.
V textu přibližně po stranu 89.
12. přednáška 8. prosince 2021.
Věta 7.6. (o derivaci složené funkce), příklady. Věta (o derivaci
inverzní funkce) a další příklady. Definice diferenciálu funkce, věta 7.10 (vztah derivace
a diferenciálu funkce). Zopakování diferenciálu souvislost s derivací. Derivace vyššího řádu, příklady.
Extrémy funkce, definice a příklady. Lokální maxima/minima funkce. Věta 7.11
(kladná derivace - rostoucí funkce), Důsledek 7.12 (nutná podmínka lokálního extrému),
příklady. Věta 7.14 (Rolleova), Věta 7.14 (Lagrangeova o střední hodnotě).
Věta 7.16 (Cauchyho o střední hodnotě).
V textu přibližně po stranu 94.
13. přednáška 15. prosince 2021.
Důsledek 7.15. Kritérium lokálního extrému Věta 7.18. Konvexní a konkávní funkce,
souvislost s derivací Věta 7.19. Dokončení lokálních extrémů funkce Věta 7.20, Důsledek 7.21.
L'Hospitalovo pravidlo Věty 7.22 a 7.23. Příklad.
Taylorův polynom věta 7.24. Příklad.
V textu přibližně po stranu 99.