Přednáší Michal Málek, email: Michal.Malek@math.slu.cz, R1 Na Rybníčku 1, středa 9:45-12:10.
Aktuální oznámení:
Zkušební otázky Matematická analýza II
Průběh zkoušky:
1) Písemná část
2) Ústní část: 2 otázky ze seznamu; 15 min na přípravu (povoleny materiály z přednášky); ústní pohovor.
Učební texty: Budu se držet textu
Co jsme probrali:
1. přednáška 23. února 2022. 5.3 Posloupnosti funkcí.
Zopakoval jsem pojmy kolem posloupností reálných čísel (hromadná hodnota, limita, konvergence).
Zavedl jsem pojem posloupnosti reálných funkcí. Definoval jsem pojem bodová a stejnoměrná konvergence,
obor konvergence, příklady. Ilustroval jsem rozdíl mezi bodovou a stejnoměrnou konvergencí.
Věta 5.7. (o majorantě), Věta 5.9. (spojitost stejnoměrné limity), Důsledek 5.10 (o záměně limit).
3. přednáška 9. března 2022.
Zopakoval jsem základní pojmy k nekonečným řadám. Pokračovali jsme v řadách s nezápornými
členy. Věta 5.21 (limitní podílové kritérium).
Příklady. Věta 5.22 (Cauchyho odmocninové kritérium) a věta 5.23 (limitní odmocninové kritérium).
Příklady. Alternující řady, definice, Věta 5.24 (Leibnizovo kritérium), příklad.
Absolutně konvergentní řady a neabsolutně konvergentní řady, příklady.
Věta (o přerovnání absolutně konvergentní řady). Neabsolutně konvergentní řady věta 5.30
(Riemannova přerovnávací) důkaz pouze naznačen
V novém textu přibližně po stranu 66.
4. přednáška 16. března 2022.
6. Nekonečné řady funkcí.
Násobení číselných řad - (obyčejný) součin řad. Věty 6.1, 6.2 o součinu řad. Příklady.
Nekonečné řady funkcí. Bodová a stejnoměrná konvergence, obor konvergence. Příklady.
Věta 6.8. (o konvergentní majorantě). Příklad. Věta 6.9. (o spojitosti součtu řady funkcí), Důsledek 6.10.
Mocninné řady. Definice, základní pojmy, střed, koeficienty. Věta 6.11 (o intervalu
konvergence mocninné řady). Příklady. Věta 6.12 (o stejnoměrné konvergenci mocninné
řady). Důsledek 6.13 (o spojitosti mocninné řady).
V novém textu přibližně po stranu 77.
5. přednáška 23. března 2022.
Nový příklad na Cauchyho součin řad a součet řady funkcí.
Základní funkce definované jako součet řady funkcí a jejich inverze:
Exponenciální funkce, logaritmus, sinus, arc sin, cos,... Jejich vlastnosti
Věty 6.14–6.20.
Taylorova řada - motivace, zopakování pojmu Taylorův polynom, Věta 7.26. (Taylorova)
8. Integrální počet v R.
Motivační příklad. Pojmy: podgraf, dělení intervalu
V novém textu přibližně po stranu 107.
6. přednáška 30. března 2022.
Motivační příklad k Riemannovu integrálu. Pojmy: podgraf, dělení intervalu, integrální součty,
zjemnění dělění. Lemma 8.0, 8.1, 8.2. Horní a dolní integrál, (Riemannův) integrál.
Příklad integrovatelná a neintegrovatelné funkce (Dirichletova funkce).
Lemma 8.3, Věta 8.4 a Důsledek 8.5 (Kritérium integrovatelnosti).
Příklad výpočtu integrálu z definice (identita na [0,1]).
V novém textu přibližně po stranu 111.
7. přednáška 6. dubna 2022.
Příklad integrovatelná funkce nespojitá v konečně mnoha bodech.
Věta 8.8 (spojitá funkce je integrovatelná), Věta 8.9 (integrál součtu a skalárního násobku).
Doplnění důsledku věty 8.9 (Množina Riemannovsky integrovatelných funkcí je vektorový prostor).
Věta 8.10 (o integrálu na sjednocení intervalů).
Definice množiny Lebesgueovy míry nula. Příklady.
V novém textu přibližně po stranu 113.
8. přednáška 13. dubna 2022.
Definice množiny Lebesgueovy míry nula. Příklady. Definice oscilace funkce, příklady.
Pomocná tvrzení: Lemma 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Věta (Lebesgueova – kritérium integrovatelnosti).
Nic z této přednášky není v této verzi textu.
9. přednáška 20. dubna 2022.
Dvě věty o střední hodnotě integrálu.
Definoval jsem Primitivní funkci, neurčitý integrál jako množinu primitivních funkcí (lišící
se na intervalu o konstantu), Věta 8.12. Věta 8.13 (integrál jako funkce horní meze).
Důsledek 8.14 (existence primitivní funkce ke spojité funkci). Věta 8.16 (integrování Per Partes).
Příklady.
V novém textu přibližně po stranu 115.
10. přednáška 27. dubna 2022.
Věta 8.17 (substituční metoda I. druhu), příklady. Věta 8.18 (substituční metoda II. druhu),
příklady. Souvislost určitého integrálu a primitivní funkce – Věta 8.19 (Newtonova-Leibnizova formule).
Příklady. Důsledky 8.20 (Newtonova-Leibnizova formule pro Per Partes), 8.21 (Newtonova-Leibnizova
formule pro substituci).
V novém textu přibližně po stranu 118.
11. přednáška 4. května 2022.
Neurčitý integrál. Rozšířil jsem Riemannův integrál nejprve na polootevřený interval [a,b), případně
(a,b], i pro neohraničenou funkci. Dále jsem připustil i případ nevlastních intervalů.
Poslední rozšíření se týkalo intervalu (a,b), kdy může být funkce neomezená na okolí
koncových bodů Lemma 8.22 (nezávislost na dělícím bodě). Propočítali jsme spoustu příkladů.
Věta 8.23 (Integrální kritérium). Příklady.
V novém textu přibližně po stranu 121.
12. přednáška 11. května 2022. Rozklad na parciální zlomky. Příklad. Aplikace určitého integrálu. V textu není. Doporučuji: Hošková, Kuben, Račková-Integrální počet funkce jedné proměnné, stáhnout, strany 135–160.
13. přednáška 18. května 2022. Opakování vybraných částí.