Přednáší Michal Málek, email: Michal.Malek@math.slu.cz, R1 Na Rybníčku 1, středa 9:45-12:10.
Cvičení k přednášce:
Pavel Holba , 309 Bezručovo nám 13, čtvrtek 16:45–16:20; a čtvrtek 16:25–18:00
Aktuální oznámení:
Zkušební otázky Matematická analýza I
Průběh zkoušky:
1) Písemná část
2) Ústní část: 2 otázky ze seznamu; 15 min na přípravu (povoleny materiály z přednášky); ústní pohovor.
Přednášky nyní budou probíhat online: středa 9:45.
Nyní se mohou přednášek účastnit studenti. Místnost R1 (1. patro) budova Na Rybníčku 1.
Budu používat MS Teams.
Pro přihlášení student (Jméno Příjmení) použije login pri0001@ad.slu.cz.
Kód týmu: wa73pa1
Odkaz na tým.
Budu připojen ve středu vždy od 9:40.
Přednáška přesunuta z do C 311, Bezručovo nám. 14.
Učební texty: Budu se držet textu
Co jsme probrali:
1. přednáška 23. září 2020. Úvod. Základy naivní teorie množin, množina, prvek,
sjednocení a průnik množin, inkluze. Základní tvrzení o vlastnostech sjednocení a průniku množin.
V textu přibližně po stranu 7.
2. přednáška 30. září 2020. Sjednocení a průnik systému množin, příklady.
Uspořádaná dvojice, kartézský součin množin, základní
vlastnosti kartézského součinu (věta 1.2), definice relace a příklady. Definice zobrazení
množin, skládání zobrazení, asociativita skládání zobrazení (věta 1.3). Injektivní, surjektivní,
bijektivní zobrazení, inverze zobrazení. Příklady. Věty 1.4 a 1.5.
V textu přibližně po stranu 11.
3. přednáška 7. října 2020. Zopakování pojmu zobrazení. Obraz a vzor množiny při
zobrazení, injektivní surjektivní, bijektivní zobrazení, příklady. Inverzní zobrazení.
Relace, reflexivní, symetrická, tranzitivní relace; relace ekvivalence, rozklad definovaný
ekvivalencí, příklady. Antisymetrická relace, uspořádání, maximum, minimum, supremum a infimum
množiny.
Začali jsme téma 2. Reálná čísla. Binární operace, komutativní, asociativní operace, příklady.
Neutrální prvek vzhledem k operaci, inverzní prvek věty 2.1, 2.2 o jednoznačnosti. Číselné pole
definice a základní vlastnosti věta 2.3. Příklady číselných polí.
V textu přibližně po stranu 21.
4. přednáška 14. října 2020.
Zopakování pojmu pole, příklady polí. Uspořádání kompatibilní, úplné, spojité uspořádání.
Reálná čísla, shora (zdola) ohraničená množina, horní (dolní) závora. Věta 2.5 o supremu
(2.6 o infimu). Věta 2.7 kritérium suprema.
Chybně jsem zavedl definici induktivní množiny. Příklady (částečně chybné).
Pomocné tvrzení 2.9. Definice přirozených čísel. Věta 2.10 základní vlastnosti přirozených
čísel. Matematická indukce, příklad.
V textu přibližně po stranu 24.
5. přednáška 21. října 2020.
Napravil jsem definici induktivní množiny.
Definoval jsem pojmy n-prvková množina, konečná, nekonečná množina, uspořádaná
n-tice, kartézský součin množin, kartézská mocnina a i-tá kartézská projekce.
Posloupnost prvků množiny. Dále jsme prošli odstavec 2.5, kde jsme definovali celá a racionální
čísla. Věta 2.11 a věta 2.12 (o hustotě racionálních čísel) s důkazy. Odstavec 2.6. Funkce
reálné proměnné, definice reálné funkce. Definice pojmů shora, zdola ohraničená funkce na
množině. Maximum, minimum, supremum a infimum funkce na množině, extrémy. Funkce rostoucí
klesající, nerostoucí, neklesající, konvexní a konkávní. Příklady. Periodická funkce.
Afinní funkce, věta 2.13. Součet a součin funkcí. Libovolná mocnina xn čísla
a mocninné funkce. Věta 2.15 (o vlastnostech mocninných funkcí).
V textu přibližně po stranu 28.
6. přednáška 28. října 2020. Neproběhne – státní svátek.
Vynecháme kapitolu 3. Základy topologie. Zájemci si ji mohou prostudovat. Pokud bude třeba,
rád s nimi prokonzultuji.
V textu přibližně po stranu 38.
7. přednáška 4. listopadu 2020.
Začali jsme kapitolu 4. Topologické vlastnosti reálných čísel. Přirozená topologie na R,
souvislá množina, okolí bodu. Věty 4.2. a 4.3. interval a souvislost na R. Spojitost
reálné funkce, spojitost v bodě. Důsledek 4.4 (Bolzanova věta), Důsledek 4.5 (Darbouxova vlastnost).
Kompaktní množina, příklady. Poznámky o maximu a minimu kompaktních množin.
Lemma 4.6. (Heine-Borelova věta). Věta 4.7. souvislost ohraničenosti a uzavřenosti
s kompaktností. Důsledek 4.8, 4.9 (Weierstrassova věta).
Spojitost zprava a zleva. Věta 4.10. Věta 4.11, Důsledek 4.12 (ε-δ kritérium spojitosti).
Příklady.
V textu přibližně po stranu 41.
8. přednáška 11. listopadu 2020.
Zopakování spojitosti a ε-δ kritérium spojitosti.
Věta 4.14 (o spojitosti součtu, součinu a podílu spojitých funkcí), spojitost libovolné
mocniny – důsledek 4.15.
Definice limity reálné funkce. Hromadný bod definičního oboru. Věta 4.23 (definice limity pomocí
okolí), Důsledek 4.24 (ε-δ kritérium limity). Věta 4.25 (jednoznačnost limity). Limita
složeného zobrazení. Rozšířená množina reálných čísel, Zobecněná věta o supremu a infimu 4.27.
Limita monotonní funkce věta 4.29 a věta 3.30 (o limitách zleva a zprava).
V textu přibližně po stranu 45.
9. přednáška 18. listopadu 2020.
Zopakoval jsem definici limity funkce v bodě, taktéž limitu zleva a zprava. Příklady. Zopakoval
jsem větu 4.30. Věta 4.31 (o třech limitách), příklady. Věty o počítání s limitami věta 4.32, 4.33.
Začali jsme novou kapitolu Posloupnosti. Definice posloupnosti, příklady. Limita posloupnosti
věta 5.1. Definice hromadné hodnoty, příklady. Věta 5.3 (o hromadných hodnotách a limitě). Konvergentní,
divergentní a oscilující posloupnost. Limes superior, limes inferior, vybraná podposloupnost příklady.
Věta 5.5 (o limitě vybrané podposloupnosti).
V textu přibližně po stranu 58.
10. přednáška 25. listopadu 2020.
Zopakování definice limity posloupnosti. Příklady. Cauchyovská posloupnost, příklady.
Věta 5.6 (konvergence cauchyovské posloupnosti). Posloupnosti funkcí, bodová a stejnoměrná
konvergence. Příklady. Věta 5.7 (o ohraničení konstantní fukcí). Věta 5.9 (souvislost stejnoměrné
konvergence a spojitosti), Důsledek 5.10 (záměna limit).
Začali jsme nové téma Derivace. Motivační příklad – tečna ke grafu. Definice derivace.
Příklady – derivace jednoduchých funkcí (konstantní, afinní, mocnina). Věta 7.2 (souvislost
derivace a spojitosti).
V textu přibližně po stranu 88.
11. přednáška 2. prosince 2020.
Zopakování pojmu derivace. Derivace základních funkcí. Věta 7.5 (derivace součtu a součinu), příklady
derivace složitějších funkcí. Věta 7.6. (o derivaci složené funkce), příklady. Věta (o derivaci
inverzní funkce) a další příklady. Definice diferenciálu funkce, věta 7.10 (vztah derivace
a diferenciálu funkce).
V textu přibližně po stranu 81.
12. přednáška 9. prosince 2020.
Zopakování diferenciálu souvislost s derivací. Derivace vyššího řádu, příklady.
Extrémy funkce, definice a příklady. Lokální maxima/minima funkce. Věta 7.11
(kladná derivace - rostoucí funkce), Důsledek 7.12 (nutná podmínka lokálního extrému),
příklady. Věta 7.14 (Rolleova), Věta 7.15 (o střední hodnotě). Věta 7.17 (postačující
podmínka lokálního extrému). Konvexní a konkávní funkce, příklady, souvislost
s derivací Věta 7.19.
V textu přibližně po stranu 84.
13. přednáška 16. prosince 2020.
Lokální extrémy funkce – dokončení. L'Hospitalovo pravidlo Věty 7.22 a 7.23. Příklad.
Taylorův polynom věta 7.24. Příklad.
V textu přibližně po stranu 86.