Zkušební otázky letní semestr 2006:
1. Přirozená topologie na Rn (otevřená a uzavřené množiny), normy generující přirozenou topologii, spojitá zobrazení Rn → Rm příklady, limita zobrazení Rn → Rm; souvislost limity a spojitosti. Postupné limity – souvislost s existencí limity. Příklady.
2. Diferenciál zobrazení (Frechétova derivace) Rn → Rm, příklady; (lineární přírustek funkce),Věta o derivaci složeného zobrazení, souvislost existence diferenciálu a spojitosti funkce. Věta o diferenciálu vektorové funkce. Diferenciál složeného zobrazení.
3. Parciální derivace funkce Rn → R, Spojitá diferencovatelnost: Lemma (o souvislosti parciálních derivací a derivaci podle vektoru); příklady. Souvislost parciálních derivací a direfenciálu. Parciální derivace složeného zobrazení (řetězové pravidlo).
4. Diferencál a parciální derivace vyšších řádů, Taylorova věta pro zobrazení Rn→ Rm, věta o střední hodnotě pro zobrazení Rn→ R.
5. Věta o implictiním a inverzním zobrazení a jeich derivace, příklady existence a neexistence implicitního zobrazení, příklady výpočtu derivace vyššího řádu implictině deinované funkce.
6. Extrémy funkce více proměnných, nutná podmínka exitence lokálního extrému, postačující podmínka existence lokálního extrému. Příklady.
7. Vázanné extrémy, problém hledání lokálních extrémů funkce na množine. Způsoby řešení hledání extrému funkce s podmínkami, věta o Lagrangeových multiplikátorech. Příklady.
8. Riemannův intergrál z ohraničené funkce Rn → R na obdélníku, zobecnění integrálu na elementární oblasi 1. a 2. druhu, Fubiniho věta pro funkci Rn→ R. Příklady.
9. Substituce ve vicerozměrném integrálu, transformace definičního oboru integrované funkce, souřadnicové systémy na R2 a R3. Příklady.
10. Křivkový a plošný integrál na R2 a R3 (1. a 2. druhu), Geometrický význam křivkového a plošného integrálu, Způsob výpočtu, příklady. Stokesova věta (a její varianty, Green, Gauss-Ostrogradskij, Stokes), Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě.
11. Funkce komplexní proměnné, způsoby zadávání, derivace komplexní funkce, Cauchy-Riemannovy formule, mocninné řady v komplexním oboru – definice funkcí sinus, kosinus a exponenciály pro komplexní čísla – jejich derivace. Analytická funkce – příklady a protipříklady. Víceodnotové funkce – logaritmus.
12. Integrál komplexní funkce, Cauchyho integrální formule a její důsledky (výpočet integrálu pomocí derivací a naopak), Definice singulárního bodu a jejich druhy (póly). Taylorova věta a věta o Laurentově řadě. Definice rezidua funkce v bodě. Příklady. Věta (o výpočtu integrálu pomocí reziduí). Příklady.
13. Obyčejné diferenciální rovnice, obecné řešení diferenciální rovnice, řešení speciálních typů diferenciálních rovnic (se separovanými proměnnými, homogení rovnice). Lineární rovnice, množina řešení homogenizované lineární rovnice, variace konstanty.
14. Soustavy obyčejných lineárních diferenciálních rovnic (s konstatními koeficienty) jejich množina řešení. Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů. Podmínka pro existenci řešení obecné Cauchyho úlohy (Picardovy aproximace).